(整理)参数估计方法.

精品文档精品文档第七章参数估计第一节基本概念1、概念网络图单正态总体的区间估计区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体精品文档精品文档2、重要公式和结论（1）点估计矩估计设总体X的分布中包含有未知数m,,,21，则其分布函数可以表成).,,,;(21mxF它的k阶原点矩),,2,1)((mkXEvkk中也包含了未知参数m,,,21，即),,,(21mkkvv。又设nxxx,,,21为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为nikixn11).,,2,1(mk这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),,,(,1),,,(,1),,,(由上面的m个方程中，解出的m个未知参数),,,(21m即为参数（m,,,21）的矩估计量。若为的矩估计，)(xg为连续函数，则)ˆ(g为)(g的矩估计。精品文档精品文档极大似然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为),,,;(21mxf，其中m,,,21为未知参数。又设nxxx,,,21为总体的一个样本，称),,,;(),,,(11122nimimxfL为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为),,,;(}{21mxpxXP，则称),,,;(),,,;,,,(1111222nimimnxpxxxL为样本的似然函数。若似然函数),,,;,,,(2211mnxxxL在m,,,21处取到最大值，则称m,,,21分别为m,,,21的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin,,2,1,0ln若为的极大似然估计，)(xg为单调函数，则)ˆ(g为)(g的极大似然估计。（2）估计量的评选标准无偏性设),,,(21nxxx为求知参数的估计量。若E（）=，则称为的无偏估计量。E（X）=E（X），E（S2）=D（X）有效性设),,,,(2111nxxx和),,,,(2122nxxx是未知参数的两个无偏估计量。若)()(21DD，则称21比有效。精品文档精品文档一致性设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有,0)|(|limnnP则称n为的一致估计量（或相合估计量）。若为的无偏估计，且),(0)ˆ(nD则为的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计置信区间和置信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,,,,21出发，找出两个统计量),,,,(2111nxxx与),,,,(2122nxxx)(21，使得区间],[21以)10(1的概率包含这个待估参数，即,1}{21P那么称区间],[21为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。单正态总体的期望和方差的区间估计设nxxx,,,,21为总体),(~2NX的一个样本，在置信度为1下，我们来确定2和的置信区间],[21。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度1，查表找分位数；（iii）导出置信区间],[21。已知方差，估计均值（i）选择样本函数).1,0(~/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/2nxP（iii）导出置信区间nxnx00,精品文档精品文档未知方差，估计均值（i）选择样本函数).1(~/ntnSxt(ii)查表找分位数.1/nSxP（iii）导出置信区间nSxnSx,方差的区间估计（i）选择样本函数).1(~)1(222nSn（ii）查表找分位数.1)1(2221SnP（iii）导出置信区间SnSn121,1例7．1：设总体),(~baUX，求对a,b的矩估计量。例7．2：设nxxx,,,,21是总体的一个样本，试证（1）;2110351321xxx（2）;12541313212xxx（3）.12143313213xxx都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。例7．3：设nxxx,,,,21是取自总体),(~2NX的样本，试证niixxnS122)(11是2的相合估计量。精品文档精品文档第二节重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节常见题型1、矩估计和极大似然估计例7．4：设0),,0(~UX，求的最大似然估计量及矩估计量。例7．5：设总体X的密度函数为.,0,1)(/)(其他xexfx其中0,,为未知参数，nXXX,,,21为取自X的样本。试求,的极大似然估计量。2、估计量的优劣例7．6：设n个随机变量nxxx,,,21独立同分布，,)(11,1,)(122121niiniixxnSxnxxD则（A）S是的无偏估计量；（B）S是的最大似然估计量；（C）S是的相合估计量；（D）xS与2相互独立。例7．7：设总体X的密度函数为,,0,0),(6)(3其他xxxxfnXXX,,,21是取自X的简单随机样本。（1）求的矩估计量；精品文档精品文档（2）求的方差D（）；（3）讨论的无偏性和一致性（相合性）。3、区间估计例7．8：从一批钉子中随机抽取16枚，测得其长度（单位：cm）为2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.102.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11假设钉子的长度X服从正态分布),(2N,在下列两种情况下分别求总体均值μ的置信度为90%的置信区间。（1）已知=0.01.（2）未知.例7．9：为了解灯泡使用时数的均值μ及标准差σ，测量10个灯泡，得x=1500小时，S=20小时。如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求μ和σ的95%的置信区间。例7．10：设总体X～N（3.4,62），从中抽取容量为n的样本，若要求其样本均值x位于区间[1.4,5.4]内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？第四节历年真题数学一：1（97，5分）设总体X的概率密度为其他,010)1()(xxxf其中nXXX,,,.121是未知参数是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量。2（99，6分）设总体X的概率密度为其他）（,00)(63xxxxfnXXX,,,21是取自总体X的简单随机样本。（1）求θ的矩估计量θ；精品文档精品文档（2）求D（θ）。3（00，6分）设某种元件的使用寿命X的概率密度为xxexfx,02);()(2其中θ0为未知参数。又设Xxxxn是,,,21的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值。4（02，7分）设总体X的概率分别为21)1(2321022pX其中θ（0θ21）是未知参数，利用总体X的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3求θ的矩估计值和最大似然估计值。5（03，4分）已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布)1,(N，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40cm，则的置信度为0.95的置信区间是。（注：标准正态分布函数值95.0)645.1(,975.0)96.1(）6（03，8分）设总体X的概率密度为xxexfx,02)()(2其中θ0是未知参数，从总体X中抽取简单随机样本nXXX,,,21，记^=min（nXXX,,,21）。（1）求总体X的分布函数F（x）；（2）（3）求统计量^的分布函数)(^xF；如果用^作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。7（04，9分）设总体X的分布函数为,1,1,0,11),(xxxxF精品文档精品文档其中未知参数nXXX,,,,121为来自总体X的简单随机样本，求：（I）的矩估计量；（II）的最大似然估计量.8．（06，9分）设总体X的概率密度为其它是未知参数其中0,10211100,xxXFnXXX,,,21为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值nxxx,,,21中小于1的个数，求的最大似然估计。数学三：1（91，5分）设总体X的概率密度为0,00,),(1xxeaxxfx其中0,0是未知参数是已知常数。试根据来自总体X的简单随机样本nXXX,,21，求的最大似然估计量。2（92，3分）设n个随机变量nXXX,,21独立同分布，niniiXXinSXnXDX122121)(11,1,，则（A）是S的无偏估计量。（B）是S的最大似然估计是。精品文档精品文档（C）是S的相合估计量（即一致估计量）。（D）XS与相互独立。[]3（93，3分）设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5。则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为。4（96，3分）设由来自正态总体)9.0,(~2NX容量为9的简单随机样本，得样本均值95.0.5的置信度为则未知参数X的置信区间是。5（00，8分）设0.51,1.25,0.80,2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y=lnX服从正态分布)1,(N。（1）求X的数学期望EX（记EX为b）；（2）求μ的置信度为0.95的置信区间；（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。6（02，3分）设总体X的概率密度为xxexfx若若,0,);()(则nXXX,,21是来自总体X的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为。7（04，13分）设随机变量X的分布函数为，，，αxαxxαβαxFβ0,1),,(其中参数1,0βα.设nXXX,,,21为来自总体X的简单随机样本,(Ⅰ)当1α时,求未知参数β的矩估计量;(Ⅱ)当1α时,求未知参数β的最大似然估计量;(Ⅲ)当2β时,求未知参数α的最大似然估计量.8．（05，4分）设一批零件的长度服从正态分布),(2N，其中2,均未知。现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cmx，样本标准差)(1cms，则的置信度为0.90的置信区间是（A）164120,16412005.005.0tt精品文档精品文档（B）164120,1641201.01.0tt（C）154120,15412005.005.0tt（D）154120,1541201.01.0tt9．（05，13分）设2,,,21nXXXn为来自总体),0(2N的简单随机样本，其样本均值为X。记XXYii，ni,,2,1。求：（I）iY的方差iDY，ni,,2,1；（II）1Y与