电工基础——网孔电流法

3.2网孔电流法在支路电流法一节中已述及，由独立电压源和线性电阻构成的电路，可以b个支路电流变量来建立电路方程。在b个支路电流中，只有一部分电流是独立电流变量，另一部分电流则可由这些独立电流来确定。若用独立电流变量来建立电路方程，则可进一步减少电路方程数。000632521431=--=+--=-+iiiiiiiii一、网孔电流若将电压源和电阻串联作为一条支路时，该电路共有6条支路和4个结点。对①、②、③结点写出KCL方程。支路电流i4、i5和i6可以用另外三个支路电流i1、i2和i3的线性组合来表示。us2①②③④i1i6i2i4i3i5R1R2R4R6R3us1us3R5-=+=+=326215314iiiiiiiii000632521431=--=+--=-+iiiiiiiii电流i4、i5和i6是非独立电流，它们由独立电流i1、i2和i3的线性组合确定。这种线性组合的关系，可以设想为电流i1、i2和i3沿每个网孔边界闭合流动而形成，如图中箭头所示。这种在网孔内闭合流动的电流，称为网孔电流。它是一组能确定全部支路电流的独立电流变量。对于具有b条支路和n个结点的平面连通电路来说，共有(b-n+1)个网孔电流。326215314iiiiiiiii-=+=+=us2①②③④i1i6i2i4i3i5R1R2R4R6R3us1us3R5二、网孔方程将以上三式代入方程组(1)，消去i4、i5和i6后可以得到：以图示网孔电流方向为绕行方向，写出三个网孔的KVL方程分别为：us2①②③④i1i6i2i4i3i5R1R2R4R6R3us1us3R5由KCL定律有：3S314326332S326215221S31421511)()()2()()()()(uiiRiiRiRuiiRiiRiRuiiRiiRiR-=++--=-+++=++++326215314iiiiiiiii-=+=+=)1(3S4466332S6655221S445511uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR-=+-=++=++将网孔方程写成一般形式：其中R11,R22和R33称为网孔自电阻，它们分别是各网孔内全部电阻的总和。例如R11=R1+R4+R5,R22=R2+R5+R6,R33=R3+R4+R6。1S34251541)(uiRiRiRRR=++++S236265215)(uiRiRRRiR=-+++3S36432614)(uiRRRiRiR-=+++-S3333323213122S32322212111S313212111uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR=++=++=++将方程组(2)整理得：us2①②③④i1i6i2i4i3i5R1R2R4R6R3us1us3R5Rkj(kj)称为网孔k与网孔j的互电阻，它们是两网孔公共电阻的正值或负值。当两网孔电流以相同方向流过公共电阻时取正号，例如R12=R21=R5,R13=R31=R4。当两网孔电流以相反方向流过公共电阻时取负号，例如R23=R32=-R6。uS11、uS22、uS33分别为各网孔中全部电压源电压升的代数和。绕行方向由-极到+极的电压源取正号；反之则取负号。例如uS11=uS1,uS22=uS2,uS33=-uS3。1S34251541)(uiRiRiRRR=++++S236265215)(uiRiRRRiR=-+++3S36432614)(uiRRRiRiR-=+++-S3333323213122S32322212111S313212111uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR=++=++=++由独立电压源和线性电阻构成电路的网孔方程很有规律。可理解为各网孔电流在某网孔全部电阻上产生电压降的代数和，等于该网孔全部电压源电压升的代数和。根据以上总结的规律和对电路图的观察，就能直接列出网孔方程。具有m个网孔的平面电路，其网孔方程的一般形式为Smmmmm22m11m22Smm222212111Sm1m212111.................................uiRiRiRuiRiRiRuiRiRiR=+++=+++=+++三、网孔电流法的应用网孔分析法的计算步骤如下：1．在电路图上标明网孔电流及其参考方向。规定各回路绕行方向均与对应的网孔电流方向一致.2．用观察法列出全部网孔电流方程,注意自电阻均为正值,互电阻可为负值.3．解联立方程组，求出各网孔电流。4．选定支路电流及参考方向。将支路电流用网孔电流表示，求得各支路电流。5．根据题目要求,计算支路电压和功率等.例1用网孔电流法求图示电路各支路电流。解：①选定两个网孔电流i1和i2的参考方向，如图所示。整理为图2-22-=++-=-+V10)21(1V5)1()11(2121iiii-=+-=-A103A522121iiii③解得：④各支路电流分别为i1=1A,i2=-3A,i3=i1-i2=4A。-==A3A121ii②用观察电路的方法直接列出网孔方程：例2用网孔电流法求图示电路各支路电流。解：①选定各网孔电流的参考方向，如图所示。②用观察法列出网孔方程：V6V25)163()6()1(V12V18)6()362()2(V18V6)1()2()212(321321321-=+++---=-+++--=--++iiiiiiiii整理为:A3A2A1321==-=iii③解得：A1A3A4236215134=-=-=-==-=iiiiiiiii④各支路电流分别为:A19106A66112A1225321321321=+--=-+--=--iiiiiiiii当电路中含有无伴电流源支路或含有受控源时的处理方法:1.无伴电流源在电路的边界支路上,设网孔电流就等于电流源的电流,不再列写该回路的网孔电流方程。2。无伴电流源在两个网孔的公共支路上，可以将电流源的端电压u设为未知量，将其视为电压源的电压，列写网孔电流方程。因增加了未知量，故必须补充一个方程。3.如果电路中含有受控源,将其视为独立电源,列写网孔电流方程,并将受控源的控制量用网孔电流表示,代入网孔电流方程中,使方程中只含有网孔电流.例3用网孔电流法求图示电路的支路电流。解：设电流源电压为u，考虑了电压u的网孔方程为：补充方程:V10)2(V5)1(21-=-=+uiuiA721=-ii联立求解以上方程得到：V2A4A321=-==uii例4用网孔电流法求解图示电路的网孔电流。解：当电流源出现在电路外围边界上时，该网孔电流等于电流源电流，成为已知量，此例中为i3=2A。此时不必列出此网孔的网孔方程。只需计入1A电流源电压u，列出两个网孔方程和一个补充方程：A10)3()35(V20)1()1(213231=-=--+=+-iiuiiuii