大角度单摆周期

第33卷第3期上海师范大学学报(自然科学版)Vol.33,No.32004年9月JournalofShanghaiNormalUniversity(NaturalSciences)Sep.2004大角度单摆的周期魏慧军1,朱炯明2(1.上海外国语大学附属大境中学,上海200011;2.上海师范大学数理信息学院,上海200234)摘要:讨论了对大角度单摆的周期公式的修正,并用数值方法对修正前后的周期进行对比、分析.结果表明修正的效果是明显的.关键词:单摆周期;大角度;数值解中图分类号:O322文献标识码:C文章编号:1000-5137(2004)03-0103-03收稿日期:2004-05-12作者简介:魏慧军(1973-),女,上海外国语大学附属大境中学教师,上海师范大学数理信息学院课程与教学论教育硕士研究生.朱炯明(1948-),男,上海师范大学数理信息学院教授.无论是在中学物理,还是在大学物理的力学教学中,我们都要研究单摆,就要涉及到切向运动方程mlθ¨=-mgsinθ,(1)其中m是摆球的质量,l是摆长,θ是摆角,θ¨是角加速度.然而,我们无法通过求解上述微分方程得出单摆的周期T,于是只能分析在摆角小于5o情况下的小角度单摆作简谐运动时的近似周期.当角度θ很小的时候,其正弦函数值近似等于θ的弧度值,即sinθ,于是切向方程(1)变为mlθ¨=-mgθ,这是一个标准的简谐振动方程,对应的角频率为ω=g/l,由此可得到单摆的周期T=2πlg.(2)但当摆角大于5o或更大的时候,这个周期公式就不再适用了,原因是摆角大时,sinθ≈θ的关系不再成立.1修正公式但我们可以利用半角公式sinθ=2sinθ2cosθ2来作适当的近似.为便于求解方程,将半角公式中的sinθ2近似为θ2,并用昀大摆角θm代替cosθ2中的θ,从而得到另一种近似关系sinθ≈θcosθm2.代入切向方程(1)后得到mlθ¨=-mgθcosθm2,这同样是一个标准的简谐振动方程,对应的周期为T=2πlgcosθm2.(3)2讨论与结果在以上分析中,我们分别用θ和θcosθm2近似代替了切向方程(1)式中的sinθ,那么这样的近似处理究竟会带来多少误差呢?我们先用数值方法画出sinθ,θ,θcosθm2的曲线,定性地看一下三者的关系.图1(a)是昀大摆角θm=20°时的曲线,图1(b)是昀大摆角θm=80°时的曲线.(a)θm=20°(b)θm=30°图1昀大摆角θm的曲线sinθ,θ和θcosθm2图1中sinθ是正弦曲线,θ是斜率为1的直线,θcosθm2是斜率为cosθm2的直线,这一斜率总是小于1的,θm越小则斜率越大,越接近1.从图1中看出,摆幅θm小的时候三者的差别很小.当摆幅θm大的时候,直线θcosθm2的斜率明显小于1,另外,从图1中看出,在θ较小的区域,θ与sinθ比较接近,而在θ较大的区域,则是θcosθm2更接近sinθ.虽然两种近似各有所长,但考虑到单摆在θ小的区域运动时速度较大,花的时间较少,而在θ大的区域运动速度小,花的时间相应较多,所以在计算周期时,θ大的区域尤为重要.这样,对于大角度单摆,由(3)式算得周期应该比(2)式更准确些.为了证实这一点,我们用数值方法计算出各种摆幅的单摆周期的数值,并与用近似周期公式(2)式和(3)式算得的结果进行比较.数值计算的方法如下:①由方程(1)可得任意给定角度的角加速度θ¨=-glsinθ;②由角速度和角加速度可算出下一时刻的角速度θ·=θ·+θ¨Δt;③再由角度和角速度可算出下一时刻的角度θ=θ+θ·Δt.初始时刻,θ=θm,θ·=0,然后循环计算,即可得任一时刻的角度.当角度θ=0时对应的时间即为1/4周期.不失一般性,在计算中取l=1,g=9.8,另外,计算步长Δt取得越小,则计算精度越高.选择一些摆幅进行计算(表1),其中周期1由(2)式算得,周期2由(3)式算得,周期3由数值计算得出(数值解),误差1是周期1与周期3之间的相对差,误差2是周期2与周期3之间的相对差.表1用近似公式(2),(3)式计算的单摆周期与数值计算比较摆幅(角度)摆幅(弧度)周期1周期2周期3误差1误差220.0349072.00712.00722.00720.01%0.00%50.0872662.00712.00802.00760.03%-0.02%100.1745332.00712.01092.01040.16%-0.03%300.5235992.00712.04222.04161.69%-0.03%400.6981322.00712.07052.06963.02%-0.04%701.221732.00712.21762.21169.25%-0.27%901.5707962.00712.38682.368815.27%-0.76%401上海师范大学学报(自然科学版)2004年第33卷从表中数据分析可得:(1)式应用在小角度的单摆中误差很小,大角度特别摆角超出40°后,明显不正确;在大角度的单摆中,(2)式的误差明显小.所以,在单摆大角度摆动过程中,虽然不能把它看成简谐运动,但用(2)式可算出其周期.从表中数据也可得到此公式在小角度时周期误差也很小.周期1～周期3随摆角的变化见图2.图2周期1～周期3随摆角的变化可见T=2πlgcosθm2此表达式对周期T可适用到相当大的角度,而且也是一个使用起来很方便、运算简单的公式.参考文献:[1]梁昆淼.数学物理方法[M].北京:高等教育出版社,1991.[2]凯恩JW,斯特海姆MM.生命科学物理学[M].北京:科学出版社,1985.[3]郑永令,贾起民.力学[M].上海:复旦大学出版社,2002.[4]教育部新世纪网络课程建设工程.大学物理网络课程第13章第4节[OL].=13§ion=4#1.[5]程守诛,江之永.普通物理学[M].北京:高等教育出版社,1998.Thelarge-anglependulumperiodWEIHui-jun1,ZHUJiong-ming2(1.ShanghaiDaJingHighSchoolAffiliatedtoShanghaiInternationalStudiesUniversity,Shanghai200011,China;2.MathematicsandSciencesCollege,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234,China)Abstract:Researchesaregiventotherevisionofperiodformulaforalarge-anglesinglependulum.Numericalsolutionisappliedheretoanalyzethedifferenceoftheperiodsbeforeandaftertherevision.Theresultshowsasignificanteffectoftheformularevi-sion.Keywords:pendulumperiod;large-angle;numericalsolution501第3期魏慧军,朱炯明:大角度单摆的周期