第五章材料的弹性和内耗(2011.5.26)

第五章材料的弹性和内耗§5-1材料的弹性一．弹性与弹性表征1、弹性弹性：材料弹性变形的简称。给材料施加外力（或应力），材料会发生变形（或应变），根据外力去除后，材料恢复到原状，与塑性变形相区别胡克（Hooke）定律：E—应力，—应变，E—弹性模量（杨氏模量）G—切应力，—切应变，G—切变模量（剪切模量）各向同性、单向拉伸各向同性、单向切变(1)(12)E2(1)EG、—拉梅常数—泊松比广义胡克定律：jijiCjijiSi,j=1,2,3,4,5,6Cij=刚度常数；Sij=柔顺常数统称为弹性常数，各有36个，其中21个为独立系数独立的弹性常数与晶体对称性相关，对称性越高，则独立弹性常数越少晶体结构独立弹性常数个数三斜晶系单斜晶系斜方晶系四方晶系六方晶系立方晶系各向同性体211396532RRddEEdtdt广义胡克定律微分表达式：滞（粘）弹性，应力、应变随时间变化2、弹性模量的物理意义弹性模量E越大，表示产生单位应变所需的应力越大E代表材料对弹性正应变的抗力相邻两原子间的相互作用势能为：简谐近似下，两原子间结合力：与比较，得到0020221()()()()2!mnmnmnmnmnmnxxmnmnxxuuxx02221()()()()2!mnmnmnmnxnmnxfuuxauuxa022()mnxmnEaaxE微观上，弹性模量表征原子间的结合力二、弹性模量与其它物理量的关系1、与熔点Tm关系：2、与热膨胀系数关系：3、与德拜特征温度关系：（隐含在波速中）4、与原子间距关系：abmEkTV13EvlEbbETk、a、b、m—材料常数；E—弹性模量温度系数—密度；—泊松比；a—原子间距Cl、Ct—分别为材料中的纵波和横波声速2213()1tltECCC221()22()1ltltCCCCmEka三、弹性模量E的影响因素1、原子结构和晶体结构原子结构、价电子层、能带结构不同，直接影响原子间相互作用势能；原子间距、近邻原子数不同，对原子的相互作用势能和恢复力系数有影响，E对晶体结构十分敏感2、温度通过热膨胀或热振动，温度影响原子间距，进而影响弹性模量；另外，温度还能显著降低原子位移的阻力3、电、磁场对于介电质和铁磁质，电场、磁场能引起电致伸缩、磁致伸缩，影响弹性模量4、变形速率和弛豫时间应变在微观上常与原子迁移、位错运动、晶界滑移等机制相关，而这些微观运动是需要时间来完成。因此，宏观上的变形速率、弛豫时间等因素也能影响弹性模量四、弹性模量的测量静态弹性模量：由材料的单向拉伸实验和应力、应变曲线获得弹性模量动态弹性模量：由共振频率法和超声法测得弹性模量静态模量大多低于动态模量，因为：1）测试时的应变速率太低，过程中容易产生应变弛豫现象；2）测试时应力太大，很难保证不发生微观塑性变形§5-2材料的滞弹性和内耗5-2-1材料的滞弹性行为一、弹性范围内的非弹性行为1、理想弹性体与实际弹性体理想弹性体：严格符合胡克定律的材料，必须同时满足以下三条标准线性：应力与应变之间满足严格的线性关系瞬时性：应力与应变之间无相位差，即变形过程不出现应变滞后于应力的现象唯一性：应力与应变之间为单值关系实际弹性体：实际材料由于应力幅值、加载速率或频率及材料内部微观因素的作用，既使材料处于弹性范围内，不能完全同时满足上述三条标准根据满足的程度，实际变形（或应变）过程分为不同类型：①线性②瞬时性③唯一性理想弹性√√√非线性弹性×√√线性滞弹性√×√线性粘弹性√××瞬时范性×√×变形过程中，均不出现应变滞后现象，没有应力—应变滞后回线—不存在机械能变为材料内能而产生损耗的现象（内耗）弹性不存在内耗滞弹性、粘弹性存在内耗2、线性滞弹性和粘弹性（动滞后：加载速率低时无滞后）线性滞弹性：满足唯一性、不满足瞬时性（有滞后，有内耗）线性粘弹性：不满足唯一性、不满足瞬时性（有滞后，有内耗）3、瞬时范性（静滞后：滞后与加载速率无关，与应力大小有关）滞后是瞬时动态发生，不依赖于加载速率或频率，仅与应力大小有关各应力幅值对应的应力—应变滞后回线面积恒定这种变形想象成微观上发生局部原子滑移、而宏观上材料仍处于弹性变形范围二、滞弹性行为的描述1、滞弹性的静态响应特性滞弹性共同特点：存在滞后现象静态：指施加的是静态载荷，相对于动态的交变载荷而言的响应特性：指施加和去除应力（或应变）载荷时，应变（或应力）的瞬时表现行为恒应力下的应变弛豫现象（弹性蠕变）恒应力：总应变：弹性应变0：与应力同时出现（同相位）的瞬时应变弹性蠕变(t)：落后于应力、与时间有关的滞后（弛豫）应变弹性后效：卸载时，应变的相应的恢复过程不能立即恢复，而需要经过一段足够时间之后才能逐渐恢复原状未弛豫模量：充分弛豫模量：动态模量：：恒应力下的应变弛豫时间00()t00uE0RE0()EtRuEEE恒应变下的应力弛豫现象（弹性应力松弛）恒应变：应力：：恒应变下的应力弛豫时间0ddt02、滞弹性的动态响应特性动态响应特性：应力随时间周期性变化时，应变滞后应力的表现行为0exp()it0exp[()]it00(cossin)exp()iit12()exp()iit0120112//()/()Eii0112111[1/()]i11Eitg周期性应力：复应变：复弹性模量：其中：—与应力同相位的弹性应变（与时间无关）—滞后应变中与应力同相位的分量（与时间有关）—滞后应变中滞后应力相位的分量（与时间有关）—动态模量1111/212011()E2tgtg(1)EEitg0001111RuEEE2001122WE22000000exp()exp()sinWditiitdt11sin2WQtgW由于11/()/uEEEEE()/uRAEEE模量亏损：驰豫强度：周期性动态载荷，在一个周期内的总的弹性能：一个周期内的能量损耗：11由于所以：12112)(tg内耗：”—亏损效应2—机械能损耗Re()EEIm()EEtg5-2-2材料的内耗一、内耗现象及其唯象理论介绍1、材料的内耗现象指材料在弹性范围内，由于其内部各种微观因素的原因，致使机械能逐渐转化成为内能的现象，相应的微观因素被称为内耗机制2、内耗唯象理论除了使用应力、应变的响应特性来描述材料的内耗现象以外，大多数情况下，人们使用机械类比的方法，对不同类型、机制的内耗建立相应的力学模型和微分方程，用解析的方法来描述内耗的规律性常用的力学元件有：1）机械类比常用的元件①胡克弹簧（弹性元件）：E—相当于弹簧的弹性系数②理想粘性活塞（粘滞元件），又叫理想粘壶，相当于一个充满理想粘液的活塞：—液体的粘滞系数③质量块（惯性元件）：m—质量块的质量E/ddt22/mddt2）广义胡克定律对于线性粘（滞）弹性材料，使用广义胡克定律描述它们应力与应变的关系：()RddEdtdt0000ttRRdtdEdtEd设时间内的应力变化为，相应的应变为，则有：t令，则有：而，所以：0tRERE0limutEuREEuREE由于所以：：恒应力下应变弛豫时间：恒应变下应力弛豫时间二、内耗的唯象理论分析1、滞弹性内耗模型及其分析滞弹性的力学模型（图a、b），其应力平衡方程（广义胡克定律的微分表达式）为：RRddEEdtdt1）恒应力下的应变弛豫过程（）平衡方程简化为：求解得：2）恒应变下的应力弛豫过程（）平衡方程简化为：求解得：0000()/(/)exp(/)RRtEEt0RRdEEdt0t0时，00t时，00RdEdt000()()exp(/)RRtEEt0()()/exp(/)REttEEtuREEE3）动态过程代人平衡方程得：利用平均弛豫时间：动态模量：得到：0exp()it0exp[()]it/(1)/(1)REEii2222()(1)[1]11REi//uREE/()/uEEEEE()/uRAEEEuREEE222Re()(1)/(1)REEE222()/(1)RRuuEEEE2222()/(1)RuuuEEEE22()/(1)uuREEE2222Im()()(1)11RRuREEEEE222211uREEEAEE1Im()EEtgEQ121()QA由于内耗表示为：121()QA对于滞弹性（弛豫型）内耗，一定温度下，其内耗与应变振幅的大小无关，只与频率有关当时，载荷变化速率太高，抑制了弛豫过程的出现，而使当时，载荷变化速率太低，弛豫过程得以充分进行，而使当时，内耗有最大值()110QuEE()110QREE()11max2EQ4）弛豫时间与温度的关系一定温度条件下（恒温），改变加载频率，当出现内耗峰时，必定满足：—温度T下的弛豫时间一定温度下，各种弛豫型内耗机制均有自己固有的弛豫时间扩散相关的弛豫型内耗，弛豫时间与发生弛豫的温度之间满足阿累尼乌斯方程：内耗频率谱：定温条件下，改变加载频率，一旦出现内耗峰值，就可以确定弛豫时间，获得不同频率所对应的弛豫峰及其相应的弛豫时间内耗弛豫温度谱（通常使用）：选择合适的加载频率不变，通过改变试验温度来改变相应的弛豫时间，进而满足的条件，获得一系列对应不同内耗机制的内耗峰121211lnmmHRTT()10exp()HRT0—材料常数；H—扩散激活能()1选择两种加载频率，可以确定相应内耗机制的扩散激活能1，2—选择的两种加载频率T1，T2—对应两种加载频率出现内耗峰的温度2、其它类型内耗模型及其分析1）粘弹性内耗模型及其分析RddEdtdt0exp()it0exp[()]it平衡方程为：/1RiEEi1211()uEQE221222221111()uEEQEE解得：2222Re()1uEEE122Im()1uEEEQ内耗：模量亏损：2）阻尼共振模型及内耗分析属于滞弹性内耗，不同之处是增加了质量块（即考虑了惯性的影响），根据牛顿运动方程，有：典型的有阻尼受迫振动的微分方程，外加交变应力成为扰动力当扰动力的频率与该内耗机制的固有频率相同或接近时，即会发生所谓的共振现象，出现内耗峰阻尼共振型内耗是弛豫型内耗的一种，内耗与应变振幅无关、只取决于频率阻尼共振的弛豫时间对温度不敏感微观机制，宏观周期性应力引起微观振动，并达到共振引起的一种内耗形式22ddmEdtdt