2015年高考数学理真题分项解析：专题04-三角函数与三角形

专题四三角函数与三角形1.【2015高考新课标1，理2】oooosin20cos10cos160sin10=()（A）32（B）32（C）12（D）12【答案】D【解析】原式=oooosin20cos10cos20sin10=osin30=12，故选D.【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.2.【2015高考山东，理3】要得到函数sin43yx的图象，只需要将函数sin4yx的图象（）（A）向左平移12个单位（B）向右平移12个单位（C）向左平移3个单位（D）向右平移3个单位【答案】B【解析】因为sin4sin4312yxx，所以要得到函数sin43yx的图象，只需将函数sin4yx的图象向右平移12个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3.【2015高考新课标1，理8】函数()fx=cos()x的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为()(A)13(,),44kkkZ(B)13(2,2),44kkkZ(C)13(,),44kkkZ(D)13(2,2),44kkkZ【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()yAx的图像与性质，先利用五点作图法列出关于，方程，求出，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求，使解题的关键.4.【2015高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）()cos(2)2Ayx()sin(2)2Byx()sin2cos2Cyxx()sincosDyxx【答案】A【解析】对于选项A，因为2sin2,2yxT，且图象关于原点对称，故选A.【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C、D选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.【2015高考重庆，理9】若tan2tan5，则3cos()10sin()5（）A、1B、2C、3D、4【答案】C【解析】由已知，3cos()10sin()533coscossinsin1010sincoscossin5533costansin1010tancossin5533cos2tansin105102tancossin55533coscos2sinsin510510sincos55＝155(coscos)(coscos)21010101012sin253cos103cos10，选C.【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．6.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6yxk，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【解析】由图象知：min2y，因为min3yk，所以32k，解得：5k，所以这段时间水深的最大值是max3358yk，故选C．【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin16x时，y取得最小值，进而求出k的值，当sin16x时，y取得最大值．7.【2015高考安徽，理10】已知函数sinfxx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当23x时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）220fff（B）022fff（C）202fff（D）202fff【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.【2015高考湖南，理9】将函数()sin2fxx的图像向右平移(0)2个单位后得到函数()gx的图像，若对满足12()()2fxgx的1x，2x，有12min3xx，则（）A.512B.3C.4D.6【答案】D.【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到)22sin()(xxg，又∵2|)()(|21xgxf，∴不妨kx2221，mx22222，∴)(221mkxx，又∵12min3xx，∴632，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(xAxf为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.【2015高考上海，理13】已知函数sinfxx．若存在1x，2x，，mx满足1206mxxx，且1223112nnfxfxfxfxfxfx（2m，m），则m的最小值为．【答案】8【解析】因为sinfxx，所以maxmin()()2mnfxfxfxfx，因此要使得满足条件1223112nnfxfxfxfxfxfx的m最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222xxxxxxxx即8.m【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.8.【2015高考天津，理13】在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知ABC的面积为315，12,cos,4bcA则a的值为.【答案】8【解析】因为0A，所以215sin1cos4AA，又115sin315,2428ABCSbcAbcbc，解方程组224bcbc得6,4bc，由余弦定理得2222212cos64264644abcbcA，所以8a.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc，解方程组求出,bc的值，用余弦定理可求边a有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C中，1tan2，D为边C上的点，D与CD的面积分别为2和4．过D作D于，DFC于F，则DDF．【答案】1615【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cosa，b．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.9.【2015高考广东，理11】设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3a，1sin2B，6Cπ，则b.【答案】1．【解析】因为1sin2B且0,B，所以6B或56B，又6C，所以6B，23ABC，又3a，由正弦定理得sinsinabAB即32sinsin36b解得1b，故应填入1．【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin2B得出6B或56B时，结合三角形内角和定理舍去56B．[来源:学优高考网gkstk]10.【2015高考北京，理12】在ABC△中，4a，5b，6c，则sin2sinAC．【答案】1【解析】222sin22sincos2sinsin2AAAabcaCCcbc2425361616256考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.11.【2015高考湖北，理12】函数2π()4coscos()2sin|ln(1)|22xfxxxx的零点个数为．【答案】2【解析】因为2π()4coscos()2sin|ln(1)|22xfxxxx|)1ln(|sin2sin)cos1(2xxxx|)1ln(|2sinxx所以函数)(xf的零点个数为函数xy2sin与|)1ln(|xy图象的交点的个数，函数xy2sin与|)1ln(|xy图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(xf有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点.已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.由“数”想图，借“图”解题.12.【2015高考四川，理12】75sin15sin.【答案】62.【解析】法一、6sin15sin75sin15cos152sin(1545)2.法二、6sin15sin75sin(4530)sin(4530)2sin45cos302.法三、62626sin15sin75442.【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.有22sincossin()abab.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解.【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一为一个角，然后再化为一个三角函