新型止痛药疗效预测

数学模型课程论文姓名：杨小龙学号：114131438班级：数学114指导老师：李新鹏新型止痛剂疗效预测模型摘要针对某医药公司为了掌握一种新止痛剂的疗效，我们小组根据医药公司的药物实验数据，通过matlab的regress功能进行处理数据。首先建立了多元非线性回归方程2011223341yaaxaxaxax，解出该方程后，发现该模型还可以优化，由于性别不同，生理状况不同，所以将男女分开讨论更有针对性，随后对该模型进行优化，得出20112331341yaaxaxaxxax。针对问题“为公司建立一个模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间”，我们对因变量y分别根据1yx，2yx，3yx之间的独立关系，建立独立的函数模型，再将变量1x，2x，3x整体考虑，建立了多元非线性回归模型：2011223341yaaxaxaxax。运用matlab软件解出回归系数，得到了模型：123463.129110.27065.66671.50000.5111yxxxx；由于R2=0.8275，拟合度不高，所以我们进行模型改进：20112331341yaaxaxaxxax；分别针对男女得到了模型：21313149.80887.843139.02947.58820.6667yxxxxx21313136.93955.168648.32357.47060.3556yxxxxx本文的最大特色是针对男女性，分别建立模型，使模型更具有针对性。关键字：matlab软件，多元非线性回归模型，男女分别建立模型；一问题的提出一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物实验，给患有同种病痛的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2g,5g,7g和10g,并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）。为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压得低，中，高三档平均分配来进行测试。通过比较每个人病人的血压历史数据，从低到高分成三组，分别计作0.25，0.50，0.75。实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）。请你为公司建立一个模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间。病人序号病痛减轻时间/min用药剂量/g性别血压组别135200.25243200.50355200.75447210.25543210.50657210.75726500.25827500.50928500.751029510.251122510.501229510.751319700.251411700.501514700.751623710.251720710.501822710.7519131000.252081000.502131000.7522271010.2523261010.502451010.75二基本假设1.假设医药公司给出的实验数据真实可信，不存在过大的人为失误；2.假设病人只服用了该新型止痛药；3.假设病人在实验期间所吃的食物对药效无影响；三符号说明符号含义单位1x用药剂量g2x性别女-0，男-13x血压组别y病痛减轻时间minp概率值随机误差ia回归系数置信水平四问题分析“为公司建立一个模型,根据病人用药的剂量、性别和血压组别,预测出服药后病痛明显减轻的时间。”对于这个问题，我们先将因变量y与变量1x，2x，3x进行单独分析，用matlab得出两者间的关系的散点图，分析假设出两者间的大致函数关系。在进行整合这些关系，得出一个y与变量1x，2x，3x三者间的关系函数进行解其中的回归系数。最终进行相应的分析优化。由于生理与性别有着密切的联系，所以我们组将男女分开讨论。五模型的建立与求解]1[首先，我们根据实验数据，用matlab做出了1yx的散点图，如图5-1所示；23456789100102030405060图5-1将1yx的散点图进行函数拟合的到如图5-2所示；23456789100102030405060图5-2在依次做出2yx，3yx的散点图，分别如图5-3和图5-4所示；00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060图5-30.250.30.350.40.450.50.550.60.650.70.750102030405060图5-4由图5-1和图5-2假设出1yx关系的201122yaaxax的函数模型；由图5-3假设出2yx的011yaax函数模型；由图5-4假设出3yx得013yaax函数模型；所以y与123,,xxx之间的多元线性回归模型为：2011223341yaaxaxaxax再用matlab的regress函数求解回归系数和置信区间等量；将数据导入matlab得出结果经整理，如表5-1所示参数参数估计值参数置信区间0a63.1291[48.717377.5409]1a-10.2706[-14.9243-5.6169]2a5.6667[-0.021311.3546]3a-1.5000[-15.432512.4325]4a0.5111[0.13190.8903]R2=0.8275F=22.7903P=0.0000S2=44.3109表5-1从表5-1可以看出R2=0.8275，指因变量y（疼痛减轻时间）的82.75%可由模型确定，F远超F检验的临界值，P远小于，因而模型2011223341yaaxaxaxax从整体上看是可用的。其中01234,,,,aaaaa的估计值分别为：63.1291，-10.2706，5.6667，-1.5000，0.5111；因而模型为：123463.129110.27065.66671.50000.5111yxxxx六模型的改进从表5-1中各个数据的分析得出结果：由于R2=0.8275反映了模型123463.129110.27065.66671.50000.5111yxxxx的拟合度不是很高，所以有必要对模型进行改进；设想针对男女生理不同，对男女分别用药；猜想1x和3x之间的交互作用会对y由影响,我们可对模型进行改进，不妨简单的用1x,3x的乘积代表他们的交互作用,于是将模型2011223341yaaxaxaxax增加一项,得到如下模型：20112331341yaaxaxaxxax首先针对男性；运用matlab的regress得到结果如表6-1所示：参数参数估计值参数置信区间0a49.8088[24.480575.1372]1a-7.8431[-14.4259-1.2604]2a39.0294[-1.085079.1438]3a-7.5882[-13.6016-1.5748]4a0.6667[0.18951.1438]R2=0.9087F=17.4206P=0.0010S2=27.4856表6-1由表6-1得出男性的预测函数方程为：21313149.80887.843139.02947.58820.6667yxxxxx同样针对女性，根据女性的实验数据用matlab可得到如表6-2所示的结果：参数参数估计值参数置信区间0a36.9395[22.9221,50.9570]1a-5.1686[-8.8117,-1.5255]2a48.3235[26.1230,70.5240]3a-7.4706[-10.7986,-4.1426]4a0.3556[0.0915,0.6196]0.97722R74.8974F0.0000p表6-2由表6-2得出女性的预测函数方程为：21313136.93955.168648.32357.47060.3556yxxxxx经过模型的改进，所得出的预测方程拟合度都达到了90%以上，达到了模型改进目的。七模型的评价与推广一．优点：本模型针对男女生理特征的不同分别进行分析，使得模型更有针对性；其次，在实际操作实施过程中也是可行的；二．缺点：针对女性的模型拟合度97.72%，而针对男性的模型拟合度90.87%，相对而言偏低了一点，由于不同的身体条件也会影响结果，对于这两点还是有待改进。八参考文献]1[姜启源谢金星叶俊,《数学模型》（第四版）,北京:高等教育出版社（了解线性回归模型的建立及改进）.附录图5-1，图5-2，图5-2，图5-4的matlab程序：y对x1的散点图x1=[222222555555777777101010101010];y=[354355474357262728292229191114232022138327265];plot(x1,y,'*');拟合曲线x1=[222222555555777777101010101010];y=[354355474357262728292229191114232022138327265];p=polyfit(x1,y,2);x1x1=linspace(min(x1),max(x1));yy=polyval(p,x1x1);plot(x1,y,'o',x1x1,yy);y对x2的散点图x2=[000111000111000111000111];y=[354355474357262728292229191114232022138327265];plot(x2,y,'*')y对x3的散点图x3=[0.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.75];y=[354355474357262728292229191114232022138327265];plot(x3,y,'*');表5-1，表6-1和表6-2的matlab程序及部分结果：表5-1：x1=[222222555555777777101010101010];x2=[000111000111000111000111];x3=[0.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.75];y=[354355474357262728292229191114232022138327265];x=[ones(24,1),x1',x2',x3',(x1.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)b=63.1291-10.27065.6667-1.50000.5111bint=48.717377.5409-14.9243-5.6169-0.021311.3546-15.432512.43250.13190.8903stats=0.827522.79030.000044.3109表6-1：x1=[222555777101010];x3=[0.250.500.750.250.500.750.250.500.750.250.500.75];y=[47435729222923202227265];x=[ones(12,1),x1',x3',(x1.*x3)',(x1.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x)b=49.8088-7.843139.0294-7.58820.6667bint=24.480575.1372-14.4259-1.2604-1.085079.1438-13.6016-1.57480.18951.1438stats=0.908717.42060.001027.4856表6-2：x1=[222555777101010];x2=[0.250.500.750.250.500.750.25