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数学史主讲人张跃辉10、痛苦的分娩——几何学的革命关于第五公设的思考高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作非欧几何学黎曼对非欧几何的贡献18世纪由于微分方程、变分法一些新数学分支的出现，形成分析、几何、代数这三大数学学科，而在这一世纪中分析领域远远超过了几何、代数。虽然分析的光芒使18世纪综合几何黯然失色，但分析的方法应用却开拓出了一个崭新的分支——微分几何。平面曲线理论17世纪基本完成微分几何惠更斯(荷,1629-1695)1673年惠更斯(荷,1629-1695)：渐伸线、渐屈线洛比塔(法,1661-1704)1671年和1686年牛顿和莱布尼茨：曲率、曲率半径1691年和1692年约翰•伯努利(瑞,1667-1748)：曲线的包络1696年洛比塔(法,1661-1704)的《无穷小分析》完成并传播了平面曲线理论18世纪的空间曲线、曲面理论微分几何克莱罗(法,1713-1765)1697年约翰•伯努利(瑞,1667-1748)提出的测地线问题1731年克莱罗(法,1713-1765)《关于双重曲率曲线的研究》：弧长、曲率微分几何1760年欧拉(瑞,1707-1783)《关于曲面上曲线的研究》：曲率、绕率，建立了曲面理论蒙日(法,1746-1818)1771年欧拉关于可展曲面，1771和1775年蒙日(法,1746-1818)关于可展曲面与直纹面1795年蒙日(法,1746-1818)《关于分析的几何应用的活页论文》借助微分方程对曲面族、可展曲面、直纹面做深入研究蒙日:1792年任法兰西共和国海军部部长,签署了处决路易十六的报告书,1800年任元老院议长,1808年封爵,波旁王朝复辟后被革职1794年组建巴黎综合工科学校,1795年设立巴黎高等师范学校培养一批优秀学生:泊松、刘维尔、傅里叶、柯西欧几里得几何欧氏几何及其平行公设公设一：过不同两点可连一直线公设二：直线可无限地延长公设三：以任意一点为中心和任一线段之长为半径可作一圆公设四：所有直角均相等公设五：一平面上两条直线被另一直线所截，若截线一侧的两内角和小于两个直角，则此二直线必在这一侧相交平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)10.1关于第五公设的思考欧几里得《几何原本》共48条命题，只有证明第29条命题时唯一应用了第五公设从欧几里得本人开始，欧氏几何第五公设(平行公设)就一直是数学家的一块心病，它完全不能满足人们的审美要求．这条公设冗长，一点也不直观，与具有简单性、简明性的美妙的欧氏几何太不相称了．于是，许多数学家力图由其他公理、公设中推出平行公设，但谁也没有成功．第一个给出第五公设证明的是2世纪的古希腊数学家托勒密，他依赖如下假设：“过已知直线外一点可且仅可作一条直线与已知直线平行.”（普莱菲尔公设，1795年以后的《几何原本》版本）中世纪的阿拉伯数学家海雅姆和纳西尔丁等也曾尝试过对第五公设的证明10.1关于第五公设的思考普莱菲尔J.Playfair，(苏格兰,1748-1819)A+B+C=2π勒让德(法,1752-1833)勒让德(法,1752-1833)《几何学原理》：关于三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒真理的不朽的例子。(1832)直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。欧几里得平行公设？？？？？“几何原理中的家丑”——达朗贝尔1733年萨凯里(意,1667-1733)《欧几里得无懈可击》19世纪以前依然进行了一些有价值的工作，他们中有普罗克洛斯(Proclus，约公元412—485年，雅典柏拉图学园晚期的导师，在450年左右给欧几里得《原本》卷1作注)、萨凯里(意，Saccheri，1667—1733)、克吕格尔(德,Klügel，1739--1812)、兰伯特（德，Lambert,1728—1777）、普莱菲尔(苏格兰，Playfair，1748—1819)、勒让德(法,1752-1833)、施魏卡特（普鲁士，Schwcikart，1780-1959）和托里努斯（普鲁士，Taurinus，1794-1874）等等．代表人物：萨凯里、兰伯特1733年，萨凯里（意大利，Saccheri，1667—1733）：《欧几里得无懈可击》萨凯里四边形锐角？直角？钝角？钝角时很快引出矛盾。但当锐角时，却得出了许多有趣的推论：三角形内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交；在平面上存在两条直线，它们在一个方向无限地互相接近，而在其相反的方向上无限地分开，这样，这两条直线将在无限远点有共同的垂线；等等萨凯里的工作萨凯里认为“结论不合情理”，从而得到矛盾。因此，他认为他已经证明了第五公设。萨凯里的错误在于把有限图形的性质扩大到无限图形，以为在有限远处不成立的东西在无限远处也不成立。萨凯里所发现的矛盾只是同常识、经验、情理矛盾，即同欧几里得几何中的相应命题矛盾，而不是反证法所需要的逻辑矛盾萨凯里由于过于崇尚第五公设的绝对正确，以至于走到伟大发现的门前而却步克吕格尔的工作1763年,克吕格尔在其博士论文中指出：(1)公理的实质在于经验，而并非不证自明，人们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人们对空间观念的经验；(2)欧氏平行公设的可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾，他只得到似乎异于经验的结果。克吕格尔(德,Klügel，1739--1812)是第一个对“平行公设能由其他公设推出”表示怀疑的数学家。兰伯特的工作兰伯特（德，Lambert,1728—1777）受克吕格尔的见解启发对平行公设进行了更加深入的探讨。认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。兰伯特（德，1728—1777）1766年，兰伯特:《平行线理论》兰伯特四边形锐角？直角？钝角？钝角假设很快引出矛盾，发现结论恰好与球面上图形的相应性质一样，由此猜想由锐角假设得出的定理可以于虚半球面的图形兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何兰伯特实际上为非欧几何的诞生奠定了基础，但他缺乏理论勇气，在即将打开非欧几何大门时退却了施魏卡特（普鲁士，Schwcikart，1780-1959）1816年写了一份备忘录，认为应该承认存在着两类几何：欧氏几何与假设三角形内角之和不足两直角的几何（他称其为星空几何）在施魏卡特的指导下，外甥托里努斯（Taurinus，1794-1874）继续研究星空几何，得到只有欧氏几何对物质空间是正确的，而星空几何只是逻辑上相容施魏卡特和托里努斯都踏进了非欧几何的大门，但由于他们不能对这种几何的广阔前景和现实应用作出合理的联想，在无人支持的困境中，放弃了对星空几何的研究，最终半途而废10.2高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作非欧几何的诞生，有待于富有高度科学想象力的数学家为它迈出决定性的下一步.而决定性的一步，应归功于高斯、波尔约和罗巴切夫斯基三人π(α)1813年高斯(德,1777-1855)：非欧几里得几何1832年J•波尔约(匈,1802-1860)《绝对空间的科学》1826年罗巴切夫斯基(俄,1792-1856)《简要论述平行线定理的一个严格证明》10.2高斯、波尔约和罗巴切夫斯基的工作高斯（C.F.Gauss,1777-1855），德国数学家、物理学家和天文学家出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。在成长过程中，幼年的高斯主要依靠母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich）罗捷雅希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中7岁上学。1787年高斯10岁数学，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。数学教师是布特纳（Buttner）据对高斯素有研究的著名数学史家贝尔（T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81297+81495+81693+…+100899布特纳“你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。”高斯与布特纳的助手巴特尔斯(J.M.Bartels)建立了真诚的友谊，一起学习，互相帮助，由此开始了真正的数学研究1788年，11岁的高斯进入了文科学校，功课都极好，古典文学、数学尤为突出经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯，提出作高斯的资助人1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥廷根大学1799年完成了博士论文，获得讲师职位，但未能成功地吸引学生，不得不回到老家，又是公爵伸手救援他，送给他一幢公寓，负担了高斯的所有生活费用。高斯十分感动，他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词：“献给大公”，“你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究”。1806年，布伦兹维克公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。这一切使得高斯有些心灰意冷，从不向他人透露自己的窘况。人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然插入了一段细微的铅笔字：对我来说，死去也比这样的生活更好受些。由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯这样的天才。公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.VonHumboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥廷根大学数学和天文学教授，以及哥廷根天文台台长的职位1807年，高斯赴哥廷根就职，全家迁居于此。除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥廷根。舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥廷根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件高斯有“数学王子”、“数学家之王”的美称、被认为是人类有史以来“最伟大的四位数学家之一”（阿基米德、牛顿、欧拉和高斯）。人们还称赞高斯是“人类的骄傲，许多世界著名的科学泰斗都把高斯当作自己的老师把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯C.F.Gauss,1777-1855高斯（Gauss,1777-1855）在15岁时已清楚存在一种欧氏平行公设不成立的逻辑几何.1799年开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。他起先称之为“反欧几里得几何”，最后改称为“非欧几里得几何”，所以“非欧几何”这个名称正是来自高斯。一向谨小慎微，不敢发表离经叛道的、但被他认为是正确的学说．1824年高斯回答托里努斯的信中说：“三角形内角和小于两直角，这个假设引导到特殊的与我们的几何完全不同的几何，这个几何完全是一贯的，并且我发现它本身完全令人满意.”高斯不仅深信新几何在逻辑上的相容性，而且还确认它具有可应用性（实际测量三个山峰构成的三角形，发现内角和多了15°）.可惜他并没有发表这一开创性的见解，主要原因有二：其一，“怕黄蜂围绕耳朵乱飞”，怕惹麻烦，受人嘲笑；其二，过于谨慎，“问题在思想上没有弄清之前决不动笔”，只有无懈可击时才肯发表当知道儿子约翰.波尔约对第五公设问题着了迷，赶紧写信劝阻：“希望你放弃这个问题.对这样一个问题的害怕应该更多于感情上的迷恋，它会剥夺你生活中的一切：时间、健康、休息和幸福.”W.Bolyai，1775-1856高斯的大学同学、匈牙利人W.波尔约（W