5任意项级数审敛法-文档资料

二、绝对收敛与条件收敛第五讲一、交错级数及其审敛法任意项级数的审敛法一、交错级数及其审敛法交错级数:定理(莱布尼茨审敛法)若交错级数满足:则;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛,且其和,1uS其余项满足.1nnur）（0nu1.定义称满足条件1),2)的级数为莱布尼茨交错级数)()(43212uuuuSn)()(543212uuuuuSn单调增加且有上界12limuSSnnnu21º先证部分和数列S2n单调增加且有上界.)(212nnuu)(1222nnuu)(21222nnnuuS0un递减证证明思路：,lim2SSnnSSnn12limSSnnlim+故级数收敛于S,且,1uS)(21nnuu21nnnuur.1nu,limSSnn仍为莱布尼茨交错级数2º再证SSnn12lim又12limnnS)(lim122nnnuS注1º莱布尼茨定理中的条件(1)可换成：)(1Nnuunn不单调}{2nu反例：，对于nnnn2)1(2)1(11nnnu2)1(20不单调，虽然}{nu事实上，;)0()1(11发散nnnnuu单调增加}{3nu;)0()1(11发散nnnnuu)0lim(nnu121221kkuk222,2322kkunnnu2)1(2kku2223121221kkunnnn2)1(2)1(11但]21)21[(11nnn收敛111)1(npnn例1证明交错级数：pp31211pnn1)1(1).0(p常数收敛，并估计其余项rn解pnnu1因),(0npnnu1且111npun由莱布尼茨审敛法pnnnur111且知级数收敛，需证un递减趋于零得收敛级数取,1p111nnn即和为,2ln2ln111nnn2º31211nn111注1º(第五节)11,1)1(nnn收敛.11发散但nn绝对值级数问题:敛散性的关系？与11nnnnuu二、绝对收敛与条件收敛1.定义111)1(npnn收敛；条件收敛,例如：绝对收敛：条件收敛:发散.收敛，但绝对收敛,.11发散但npn11,1)1(npnn收敛；10p.1p收敛11npn2.定理(绝对收敛与收敛的关系)证设nv令01nnv收敛,12nnv,2nnnvuu而1nnu1nnu收敛.)(21nnuunv,nu收敛,定理若级数绝对收敛，1nnu则该级数必收敛.则由收敛级数的基本性质，注收敛1nnu绝对收敛1nnu?由比较审敛法知,1nnu12nnv均收敛12!sinnnn级数,1!sin22nnnun解例2.!sin12nnn绝对收敛即,112收敛而nn12!sinnnn收敛条件收敛、绝对收敛还是发散？判定交错级数110)1(nnnn的敛散性.例3解nnnnuvnnu)1(10，绝对收敛性110nnuvnn)1(101nn,1011发散而nn发散1nnv),(nf令10nnun)0(10)(xxxxf2)10()10(21)(xxxxxf2)10(210xxx)10(0x单调减少，时，当)(10xfx条件收敛性2分析10nnun需判定递减、趋于零时，故当10n)()1(nfnf)10(1nuunn即nnulim又10limnnnnnn101lim由莱尼布茨判别法知110)1(nnnn收敛.0综合1º,2º可知：110)1(nnnn条件收敛.注1º用莱布尼茨判别法判断交错级数)0()1(11nnnnuu是否收敛时，要考察{un}是否单调减少，通常有以下三种方法：比值法：)1()(1?1Nnuunn差值法：)2()(0?1Nnuunn函数法：)3(由un找一个可导函数f(x),,)(nunf使?0)(xf再考察2º关系发散1nnu收敛1nnu?（一般地）√但特殊地，有定理设任意项级数满足1nnu1lim1ρuunnn)1lim(ρunnn或则级数.1发散且nnu,1lim1ρuunnn由),(1Nnuunn可得,0limnnu于是,0limnnu从而.1发散故nnu发散1nnu说明:（用比值法或根值法判）证,!!11nnnnnnnnnnnuu1lim又nnn)11(lim知，由定理9.11散？收敛、条件收敛还是发是绝对级数1!nnnn例4解nnnnnnn!!11lim1,1e.!1发散nnnn,!!11发散nnnnnnnn比值法判定分别为*3.绝对收敛级数性质*性质1(交换律).σS则逐项相乘并按任意顺序排列也绝对收敛,都绝对收敛,,,σS其和为绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*性质2(分配律)其和得到的级数11121)(nnnnvuvuvuσS柯西乘积1.利用部分和极限:3.利用正项级数审敛法0limnnu比值审敛法根值审敛法比较审敛法内容小结（任意项级数审敛法）2.利用收敛的必要条件:发散不存在SSnnlim发散收敛收敛判1nnu收敛1nnu发散判1nnu发散1nnu4.莱布尼茨判别法:收敛交错级数nnnu1)1(由正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?解1nnnuu2lim因nnulim，0由比较法知12nnu收敛.注意反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.思考题解2,00nu由),(1Nnun得,02nnuu于是由比较法知12nnu收敛.)(212小较因收敛，猜nnnnuuu11!1)1()2nnnnnn2)1(2221121!1)2nn12)3nnn发散;收敛;收敛.备用题例1-1判定下列的敛散性：!31!211!1)1(1nn112)1()3nnnn问题上述级数的绝对值级数是否收敛?1nnv111)1()1nnn31211nn1)1(1收敛收敛收敛11)1nn解，因ppnnnx1cos,)1(11收敛级数又pnpnp收敛，故1cosnpnnx例2-1是绝对收敛、级数1cos1pnnxnp?条件收敛还是发散.cos1绝对收敛从而npnnx例2-2证明14sinnnαn证(1),1sin44nnαn因而141nn收敛,14sinnnαn故收敛,因此14sinnnαn绝对收敛.绝对收敛.nnnuu1lim因limn121nen）（nen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen故收敛,绝对收敛.12)1(nnnen例2-3证明绝对收敛.证.0sin11的敛散性判定nnxnx例3-1解nxunnsin1因)(~nnx发散，而1nnx发散，1nnunxsin由比较法知.故原级数非绝对收敛,0sinlimnxn且是）（故πxnnxnn2sin11,莱布尼茨交错级数πxnnxnx21sinsin又.因此条件收敛例3-2),,3,2,1(0nun设,1limnnun且则).(11)1(111nnnnuu(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析选(B)错;又C