一元二次不等式及其解法课件课件.ppt

第三十二讲一元二次不等式及其解法名师指导·练基础回归课本1.一元二次不等式的定义只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解集如下表3.ab,xaxb0;0xaxb0()()0,0;()()0,0.0;00xaxbxaxbxaxbxaxbxbxaxbxaxbxb≥≥≤≤分式不等式与一元二次不等式的关系设等价于等价于等价于等价于分式不等式解法的实质是转化,把分式不等式转化为整式不等式来求解,需要注意分式有意义即分母不为零,也可将分式不等式转化为两个不等式的交集,继而求出其解集.4.用一个程序框图来描述一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解的算法过程考点陪练1.(2010·大连模拟题)不等式x(1-x)0的解集为()A.{x|x-1或x0}B.{x|-1x0}C.{x|0x1}D.{x|x0或x1}解析:利用数轴标根法可得0x1.所以选C.答案:C2.(2010·南昌调研题)若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈(0,1]恒成立,则a的取值范围为()A.[0,+∞)B.[-4,+∞)C.[-5,+∞)D.[-4,4]2:a0,1.0,1.0,1,fxf15,a5,444()C(.4)xxxxfxxxfxxx最大值解析原不等式可转化为≥在区间上恒成立即将问题转化为求函数在区间上的最大值问题函数在上为增函数故应选答案:C3.(2010·海口调研题)若a0,a+b+c0,则下列结论一定成立的是()A.b24acB.b24acC.b2≤4acD.不能确定解析:构造二次函数f(x)=ax2+bx+c,∵a0,f(1)=a+b+c0,∴抛物线与x轴一定有两个交点,则Δ=b2-4ac0,故选B.答案:B4.(2010)()A.0,2B.,0C.2,D.,002,2xxxx江西不等式的解集是2222,:002xx20,0x2.xxxxxxxx解析由题得或即或解得答案:A5.若关于x的不等式x2-ax-a0的解集为(-∞,+∞),则实数a的取值范围是________;若关于x的不等式x2-ax-a≤-3的解集不是空集,则实数a的取值范围是________.解析:由Δ10即a2-4(-a)0得-4a0;由Δ2≥0即a2-4(3-a)≥0得a≤-6或a≥2.答案:(-4,0)(-∞,-6]∪[2,+∞)名师讲解·练思维类型一一元二次不等式的解法解题准备:解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形,使一端为0且二次项系数大于0,即ax2+bx+c0(a0),ax2+bx+c0(a0).(2)计算相应的判别式.(3)当Δ≥0时,求出相应的一元二次方程的根.(4)根据对应二次函数的图象,写出不等式的解集.【典例1】解下列不等式:(1)2x2+4x+30;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)8x-1≥16x2.[分析]首先将二次项系数转化为正数,再看二次三项式能否因式分解,若能,则可得方程的两根,大于号取两边,小于号取中间,若不能,则再看“Δ”,利用求根公式求解方程的根,而后写出解集.2222[]14423162480.2x4x30.2x4x30. 23x2x80x23x40x2x4 (,2].34,.3解方程没有实根的解集为原不等式等价于≥≥≤或≥不等式的解集为22316x8x104x10.4x141.0,41,x原不等式等价于≤≤只有当即时不等式成立故不等式解集为类型二含有参数的一元二次不等式的解法解题准备:1.含参数的一元二次不等式中关于字母参数的取值范围问题,主要考查一元二次不等式的解与系数的关系以及分类讨论的数学思想.2.含有参数的不等式的求解,往往需要比较相应方程的根的大小,对参数进行讨论.3.含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,可先考虑分解因式,再对参数进行讨论.若不易因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零时的情形,以便确定解集的形式.然后对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.【典例2】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10.[]ax1x10,a0,x1;1(1)0a0,.1,x1xxaxa解原不等式变为当时不等式的解为若则或a0,a1,a1,1(1)0,11;11.;0a1,xxaxaxa若则当时解为当时解集为当时解为,a0,a0,x|x1;0a1,a11|1;1|1;1|1.,;a1,xxxaxxaxxa综上当时不等式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为或[反思感悟]解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层次,一般按下面次序进行讨论:首先根据二次项系数的符号进行分类,其次根据根是否存在,即Δ的符号进行分类,最后在根存在时,根据根的大小进行分类.类型三一元二次不等式恒成立问题解题准备:1.不等式ax2+bx+c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c0;当a≠0时,2.不等式ax2+bx+c0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a=0时,b=0,c0;当a≠0时,3.f(x)≤a恒成立f(x)max≤a;f(x)≥a恒成立f(x)min≥a.4.讨论形如ax2+bx+c0的不等式恒成立问题,必须对a=0或a≠0分类讨论,避免产生漏解.0,0.a0,0.a【典例3】已知不等式mx2-2x+m-20.(1)若对于所有的实数x不等式恒成立,求m的取值范围;(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.[分析](1)讨论m是否为零,可结合二次函数的图象求解;(2)看作关于m的一次函数,利用其单调性求解.[解](1)对所有实数x,都有不等式mx2-2x+m-20恒成立,即函数f(x)=mx2-2x+m-2的图象全部在x轴下方.当m=0时,-2x-20,显然对任意x不能恒成立;当m≠0时,由二次函数的图象可知有解得综上可知m的范围是(-∞,1-).0,44(2)0mmm12,m2(2)设g(m)=(x2+1)m-2x-2,它是一个以m为自变量的一次函数,由x2+10知g(m)在[-2,2]上为增函数,则由题意只需g(2)0即可,即2x2+2-2x-20,解得0x1.即x的取值范围是(0,1).[反思感悟]对于含参数的不等式恒成立问题,若参数的次数是一次且易于分离时,可以变换主元,借助于一次函数的单调性求解.类型四一元二次不等式的实际应用解题准备:不等式解法的应用主要体现在两个方面:一是不等式作为一种重要的数学工具在函数和方程中的应用;二是通过建立不等式模型,解决生活中的实际问题.本类问题解决时,注意等价转化和函数方程思想的应用.【典例4】某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)设y=kx(0k1),利用k表示当每月售货总金额最大时x的值;(3)若求使每月售货总金额有所增加的x值的范围.2,3yx[分析]抓住主干,理解题意,正确将不等关系转化成不等式问题是关键.11011011,1010([]1x,,,npz10)(10).100.xpynxynpzpnxyz解按现在的定价上涨成时上涨后的定价为元每月卖出数量为件每月售货总金额是元因而所以2125(1)5(1)1002,1005(1 2ykx,0k1,)0,5(1)z.xkkzkxkkkkkxk在的条件下由于所以所以使值最大的值是2(10)1023,,31002(10)10100,(5)0,3 3,z1,0x5,x0,5.xxyxzxoxxx当时要使每月售货总金额有所增加即应有所以所以所求的范围是即[反思感悟]不等式应用题,一般可按如下四步进行:(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系;(2)引进数学符号,用不等式表示不等关系;(3)解不等式;(4)回归实际问题.名师纠错·补漏洞错源一忽略对判别式的讨论【典例1】解关于x的不等式x2+ax+40(a∈R).221,22216,216[16|.22]xax40aaxaaaaxxx错解由得所以不等式的解集或为[剖析]本题忽略对判别式的讨论是导致错误的主因.[正解]因为Δ=a2-16,(1)当Δ0,即-4a4时,解集为R;(2)Δ=0,即a=±4.①a=4时,解集为{x|x≠-2},②a=-4时,解集为{x|x≠2}.2230,a4a4,1616|.22aaaaxxx当即或或时解集为错源二思维滞于表面现象,忽视分类讨论【典例2】解关于x的不等式(a∈R).[错解]原不等式即为(x-a)(x-a2)0.∵aa2.∴不等式的解集为{x|axa2}.20xaxa[剖析]此题易想当然地认为a2a而不分类,也易在分类时漏掉a=a2的情况;或在讨论a=a2时,误将不等式解集写成{x|x∈R且x≠0}.[正解]原不等式即为(x-a)(x-a2)0,∵a-a2=a(1-a),则①当a0或a1时,aa2,此时不等式的解为axa2;②当0a1时,aa2,此时不等式的解为a2xa;③当a=0或a=1时,a=a2,原不等式变形为(x-a)20不成立.综上,当a0或a1时,原不等式的解集为{x|axa2};当0a1时,原不等式的解集为{x|a2xa};当a=0或a=1时,原不等式的解集为.名师技法·练智力技法一利用函数思想处理不等式问题【典例1】对于满足0≤p≤4的所有实数p,不等式x2+px4x+p-3恒成立,求x的取值范围.[解题切入点]这是一个有关x的二次不等式恒成立问题,但若以x为主元考虑解题将非常复杂,而变换视角,令p为主元便可构建关于p的一次函数,使问题很容易得解.2(0)[]fpx1px4x3,fp00p40,2430,31.(4)0,210,,fxxxxfx解构造函数依题知对≤≤恒成或立因此只要技法二数轴标根法【典例2】不等式的解集是()A.(-∞,-1)∪(1,2)∪(3,+∞)B.(-1,1)∪(2,3)C.(-1,1)∪(1,2)D.(1,2)∪(2,3)2232023xxxx[解析]原不等式为等价于:(x+1)(x-1)(x-2)(x-3)0.用数轴标根法,如图:得x∈(-1,1)∪(2,3).故选B.[答案]B(1)(2)0(1)(3)xxxx12121223()()()[],;:0(0)()()()()()()0(0)0,()()0()0.kkknnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxaxaxbxbxcxc方法与技巧分式、高次不等式可用数轴标根法解但要化成…的标准形式有重根的不等式转化为…或…基本步骤:(1)将每个因式的根标在数轴上;(2)从右上方依次