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ThePoincaré-Lighthill-KuoMethodPoincaré-Lighthill-Kuo方法钱学森加州理工学院Daniel-FlorenceGugenheim喷气推进中心，帕萨迪纳，加利福尼亚州（本文发表于AdvancesinAppliedMechanics,Vol.4,AcademicPress,pp281-349,1955）目录I.引言1.发展历史2.简单例子3.PLK方法的基本特性II.常微分方程1.一阶方程2.00q的情形3.00q=的情形4.00q的情形5.要求采用边界层方法的方程6.二阶方程7.非正则奇点8.组合方法；粘性气体的汇流III.双曲型偏微分方程1.推广到双曲型方程2.远离点源的行进波3.行进波解4.满足初始条件的一致有效解5.利用精确特征线的摄动IV.椭圆型偏微分方程1.PLK方法应用于薄翼问题时的失效2.出现困难的可能原因V.在流体边界层问题中的应用1.平板边界层2.二阶解3.坐标变形带来的零阶解的改进4.超音速流中的边界层VI.结束语参考文献I.引言I.1.发展历史Poincaré在他的名著《天体力学的新方法》[1]中，设计了一种方法来寻求如下的一阶方程组的周期解：（1.1）12(,,,,,;)(1,2,,)iiindxXxxxxindtε=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅其中，t为时间变量，ε为表示摄动影响的小参数。0ε=时的方程组对应于未扰系统，它特别简单，可容易地求得周期为(0)T的周期解。Poincaré方法的实质是求得关于参数ε展开的摄动解，不仅把变量展开：（1.2a）(0)(1)2(2)iiiixxxxεε=+++⋅⋅⋅而且把周期T也展开：（1.2b）(0)(1)2(2)TTTTεε=+++⋅⋅⋅近年来，这一方法在非线性振动（非线性力学）理论中得到了广泛应用，该领域中经常出现（1.1）那样的方程。然而，近六十年间，人们没有对这一方法进行过实质性的推广，Poincaré的创见的潜力并未得到充分发挥。1949年5月19日，Lighthill[2]在伦敦数学学会所作的讲演中，提出了一种求得物理问题一致有效近似解的技巧，介绍了对Poincaré方法的一种非常重要的推广。Lighthill的目的在于改进寻求物理问题近似解的熟知的摄动法，摄动法的基本思路是：把精确解展开成小参数ε的幂级数，零阶解与ε无关，而一阶解正比于ε，依此类推。这种方法原理简单，使用便捷，十分有效，对一大类问题产生了有用的结果。但是，时不时地遇到一些问题，它们的零阶解在感兴趣的区域里的一个点上或一条线上有某种奇性，在高阶解中，这种奇性不仅在同一位置仍然出现，而且随着阶数升高会变得越来越严重。在这种奇点附近，关于ε的幂级数展开式失效，经典的摄动法不能给出有用的解。Lighthill的方法旨在克服这种困难，提供在整个感兴趣的区域一致有效（或有一致的精度）的展开式。该方法的基本思路是：不仅把因变量u展开成ε的幂级数，而且把自变量（如x，y）也展开成ε的幂级数，于是有（1.3）(0)(1)2(2)(,)(,)(,)uuuuξηεξηεξη=+++⋅⋅⋅（1.4）(1)2(2)(1)2(2)(,)(,){(,)(,)xxxyyyξεξηεξηηεξηεξη=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅这里，ξ，η取代了原来的自变量x，y。显然，(0)(,)uξη就是经典的摄动法给出的零阶解，只不过用ξ，η取代了x，y而已。如果我们忽略（1.3）中u的高阶项，则近似解就是在经变换（1.4）伸缩或变形的坐标下的零阶摄动解。有些作者根据这一事实把Lighthill法称为坐标摄动法*。（*目前，经常称之为变形坐标法或伸缩坐标法。——译者注。）Lighthill把他的方法应用于含偏微分方程的问题，其中零阶解由与精确方程同阶的约化线性方程得到。然而，很快就发现Lighthill原先给出整个感兴趣区域一致有效解的目的并非总能达到。在许多问题中，只有利用“边界层”解，才可得到良好的零阶解。Kuo（郭永怀）[3]在寻求平板的不可压缩层流边界层的精致的解时，首先认知了这种必要性；此项工作以及他在超音速层流边界层方面的后续工作[4]，对Lighthill原先的思路做了进一步推广。Poincaré、Lighthill和Kuo的方法的基本原理无疑为许多应用数学工作者采用过，但相关概念的一般性也许从未充分地强调过。因此，倘若我们承认原创和大胆探索的重要性，就会赞赏上述三位为工程数学提供这一极其有效方法的功绩，并将此方法称为PLK方法。I.2.简单例子为了阐释PLK方法的原理，我们来考虑如下的一阶常微分方程：（1.5）()0.duxuudxε++=将此方程除以du/dx，使因变量与自变量的角色彼此交换，就得到dxuxuduε+=−或即（1.6）(),dxuuduε=−积分上式，得20,2xuuCε=−+其中C0为积分常数。如果我们施加边界条件（1.7）(1)1,u=则微分方程（1.5）的精确解为（1.8）22()1.xxuεεε=−+++现在我们来试用经典的摄动法，亦即将u展开为ε的幂级数：（1.9）(0)(1)2(2)()()().uuxuxuxεε=+++⋅⋅⋅将（1.9）代入（1.5），然后令ε的同次幂相等，我们有（1.10）(0)(0)0,duxudx+=（1.11）(1)(0)(1)(0),duduxuudxdx+=−（1.12）(2)(1)(0)(2)(0)(1),dududuxuuudxdxdx+=−−…………………………………若令(0)()ux满足边界条件（1.7），则有（1.13）(0)1().uxx=利用所确定的(0)u，由（1.11）得到(1)1311().2Cuxxx=−+但现在边界条件（1.7）要求（1.14）(1)(1)0.u=由此可确定积分常数C1，从而有（1.15）(1)211()1.2uxxx⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠类似地有（1.16）(2)241111()11.22uxxxxx⎛⎞⎛⎞=−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠函数(0)()ux在x＝0处有奇性，而（1.15）和（1.16）表明，当摄动解的阶数升高时，这种奇性变得更加糟糕，因此，这样得到的解在x＝0处毫无用处。事实上，在离开奇点x＝0处，通过分析所忽略的ε的高阶项的阶数，就可估计此解的相对误差。于是，倘若我们根据已进行的演绎，计算到ε2项，则相对误差为O（ε3），但在奇点附近，这一估计失效，相对误差远远高于O（ε3），所得到的解在感兴趣的x＝0附近的区域没有一致的精度，亦即，解不是一致有效的。现在让我们另辟蹊径，根据PLK方法的要求，把u和x都展开成ε的幂级数：（1.17）(0)(1)(1)()(),().uuuxxξεξξεξ=++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅现在，原来的微分方程（1.5）可写成（1.18）()0.dudxxuuddεξξ++=将（1.17）代入（1.18），令ε的同次幂相等，我们得到（1.19）(0)(0)0,duudξξ+=（1.20）()(1)(0)(1)(1)(1)(0)(0).dududxuxuudddξξξξ+=−+−由（1.19）即得(0)0().kuξξ=如果我们加上条件（1.21）()(1)10x=使得1ξ=时x＝1，则由边界条件（1.7）对(0)u的要求，得到01k=，于是有（1.22）(0)1().uξξ=利用这个(0)u解，（1.20）变成()(1)(1)(1)23111.ddxuxddξξξξξξ=−++为了使(1)u的奇性不强于(0)u，我们利用选择(1)x时拥有附加的自由度的优越性，令（1.23）(1)(1)23111.dxxdξξξξ−=因此这是(1)()xξ应满足的微分方程，在条件（1.21）下，其解为（1.24）(1)211.2xξξ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠利用这样确定的(1)x，为了满足u的原来的边界条件，我们有(1)0u≡。于是，取到此阶近似，我们得到（1.25）21,11.2uxξξξεξ=⎛⎞=+−⎜⎟⎝⎠令人惊奇的是：在（1.25）中的两个方程中消去ξ后，我们恰好得到（1.8）给出的解u。所以，对这一情形，PLK方法不仅消弭了x＝0处的奇性困难，而且产生了如此良好的解项，事实上，给出了精确解。I.3.PLK方法的基本特性我们发现，在x的不同区域，（1.5）的精确解关于ε的合适的展开式是各不相同的。展开式（1.9）仅适用于远离原点的x，即x的值较大时；在原点附近，另一种完全不同的展开式才适用。解的特性的这种变化使得常规的摄动法几乎没有用处。事实上，把常规的摄动法应用于这类情形，需要有极为机敏的猜测。而另一方面，PLK方法则是基于成规的一种简捷可靠的方法；问题中的错综复杂的关系会自动地、正确地呈现出来，无需研究者进行预测，在这方面，PLK方法与Laplace变换方法并无二致，因此，对工程师来说，PLK方法的这种特性特别重要。在以下各章中讨论例子时，我们可以更好地鉴赏此点。PLK方法的另一个特性是它在实际应用中的很大的灵活性。尽管Lighthill原先强调了解的一致有效性，但正如下文中所述，这一要求并非总能达到。要点在于：通过引进“伸缩”坐标，我们在求解过程中赢得了附加的自由度，用以改进零阶解的准确度，原先在奇点或奇线附近零阶解极差。我们能成功到何种程度取决于问题本身。不幸的是，迄今为止，有关PLK方法的数学理论尚未得到充分研究，还不能从给定的微分方程和辅助条件预测此方法的成功率或失败率。但是，从目前已取得的效果看来，似乎可以肯定，PLK方法将是工程分析中的一种有用工具，即使它产生的结果有时不如期望的那么好。鉴于这些要点，我们对PLK方法的阐述将侧重于它的应用，而不是它的数学基础。实际上，此法的数学合理性的证实还只局限于几种情形。另外，这种数学分析需要把方法系统化、准则化，而如上所述，PLK方法的特性就在于它的处理方法的灵活性。从应用的角度看来，通过实例讨论此方法，优于用一般理论加以阐释。这就是下面的阐述的精神所在。作者愿借此机会感谢他在加州理工学院的同事们（特别是A.Erdélyi教授），作者与他们进行过富有启发性的讨论，并得到了他们的批评性意见。作者对这个新的数学方法的兴趣首先源自康奈尔大学的郭永怀教授的富于想象力的工作；然而，麻省理工学院的林家翘教授曾就该方法的局限性问题提醒过作者。作者谨向他们致以诚挚的谢意。II.常微分方程II.1.一阶方程作为发端，我们首先研究PLK方法在常微分方程问题中的应用。即使对这种相对简单的情形，解的收敛性的完整证明昀近才由Wasow[5]给出，而且仅仅针对于一类很简单的一阶常微分方程，即（2.1）()()().duxuqxurxdxε++=其中假定q(x)和r(x)在原点x=0附近是正则的。我们通常对求得0x≥处的解感兴趣。Lighthill本人[2]首先按这里复述的方式对这个方程进行了研究，下文中就跟从Lighthill，只进行启发式的论述，想了解数学证明的读者，可参阅Wasow的著述。以方程（2.1）作为典型情形是因为经典的摄动法在x＝0附近不能给出有用的解，困难当然在于，在（x，u）平面上的直线x+εu=0上方程有奇性。我们假定ε是正的（若ε为负，则取－u为因变量，可把方程化为含正ε的情形），于是，上述奇线如图1所示。在这条直线上，因为－q(x)u+r(x)一般不为零，所以按照（2.1），du/dx为无穷大。如果我们采用经典的摄动法，对零阶近似来说，去掉了du/dx的系数中的εu项，奇性就移至u轴上。用经典的摄动理论，在u轴上就给出u(x)的无穷大的斜率。因此，若u*为经典摄动理论的结果，则u*在x＝0附近一定大大地有别于u，如图1所示，而且这种偏差不可能由高阶摄动来改善。现在来看看用PLK方法能做些什么，令（2.2）(0)(1)2(2)(1)2(2)()()(),()().uuuuxxxξεξεξξεξεξ=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅图1在（x，u）平面上()()()duxuqxurxdxε++=的解的示意图（图中的文字：BRANCHPOINT-分支点）把（2.2）代入（2.1），把每一项都展开成ε