高中数学北师大版必修一3.3.1《指数函数的概念-指数函数y=2x和y=(12)x的图像和性质》pp

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1指数函数和对数函数第三章第三章§3指数函数3.1指数函数的概念3.2指数函数y＝2x和y＝(12)x的图像和性质课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习•有一天，数学课上甲同学顺手拿起桌上的草稿纸，折起飞机来．但很快被老师发现．老师没有动怒，还笑着说：“喜欢折叠的人，我总会给予机会的，但只要回答一个问题：一张纸究竟最多可对折多少次？”甲同学顺口说：“20次．”随即把手上的纸对折起来．可他无论怎样努力，折到第8次就再也折不了了．然而，甲同学不服气地说：“我用报纸可以折得更多！”•甲同学再一次失望，他把老师给的报纸勉强折上8次后，便不能再折下去了．这是为什么呢？•通过本节课的学习，你就会理解这一有趣的现象.1.指数函数定义函数________叫作指数函数，其中___________，定义域为______，值域为__________．2．指数函数y＝2x和y＝(12)x的图像与性质两个函数图像的相同点：都位于________的上方，都过点________；不同点：函数y＝2x的图像是________；函数y＝(12)x的图像是________．y＝axa0且a≠1R(0，＋∞)x轴(0,1)上升的下降的1.若指数函数y＝ax经过点(－1,3)，则a等于()A．3B.13C．2D.12[答案]B[解析]依题意有a－1＝3，即1a＝3.所以a＝13.2．若a＝0.512，b＝0.513，c＝0.514，则a，b，c的大小顺序是()A．abcB．abcC．acbD．bca[答案]B[解析]因为y＝0.5x在R上是减函数，又121314，所以0.5120.5130.514，即abc.3．函数y＝(12)x－1的值域是()A．(－∞，0)B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(－∞，1][答案]B[解析]∵x－1≥0，∴(12)x－1≤(12)0＝1，且(12)x－10.∴所求值域为(0,1]．•4．指数函数y＝2x的定义域是________，值域是________．•[答案]R(0，＋∞)•[解析]由指数函数y＝2x的图像和性质可知定义域为R，值域为(0，＋∞)．•5．把函数y＝f(x)的图像向左、向下分别平移2个单位，得到函数y＝2x的图像，则f(x)＝________.•[答案]2x－2＋2•[解析]因为将函数y＝2x的图像向上平移2个单位得到函数y＝2x＋2的图像，再向右平移2个单位得到函数y＝2x－2＋2的图像，•所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－2＋2.课堂典例讲练•下列函数中，哪些是指数函数？•①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；•⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)；•⑦y＝x10.•[思路分析]根据指数函数的定义，必须是形如y＝ax(a0，且a≠1)的函数才叫指数函数．•指数函数的概念•[规范解答]①y＝10x符合定义，是指数函数；②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的函数，不是指数函数；③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的函数；④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的函数；⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；⑥由于10＋a0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a－10，且a≠－9)是指数函数；⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．•[规律总结]在指数函数的定义表达式y＝ax中，参数a必须大于0，且不等于1，ax前的系数必须是1，自变量x必须在指数的位置上，否则，就不是指数函数．•(1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函数，则实数a的值为________；•(2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则f(2)＝________.[答案](1)2(2)116[解析](1)依题意应有a2－a－1＝1，a0，a≠1，解得a＝2(a＝－1舍去)．(2)设f(x)＝ax(a0，且a≠1)，则有a－1＝4，所以a＝14，即f(x)＝(14)x.于是f(2)＝116.•指数函数的定义域、值域求下列函数的定义域与值域．(1)y＝21x-4；(2)y＝(23)－|x|；(3)y＝4x＋2x＋1＋1.[思路分析]先求定义域→分解原函数→考虑单调性→求出值域[规范解答](1)由x－4≠0得x≠4.∴定义域为{x|x≠4}．又1x－4≠0，∴21x-4≠1.∴y＝21x-4的值域为{y|y0且y≠1}．(2)定义域为R.∵|x|≥0，∴－|x|≤0.∴(23)－|x|≥1，∴y＝(23)－|x|的值域为{y|y≥1}．(3)定义域为R.令t＝2x，则t0，从而函数可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)21.∴y＝4x＋2x＋1＋1的值域为{y|y1}．[规律总结]对于函数y＝af(x)定义域：使fx有意义的x的取值范围值域：1根据定义域求出μ＝fx的值域.2根据指数函数的性质求出y＝aμ的值域，即为所求..求下列函数的定义域与值域.(1)y＝1－12x；(2)y＝1－22x＋1.[解析](1)由1－(12)x≥0，得(12)x≤1＝(12)0，由指数函数y＝(12)x是减函数有x≥0，定义域为[0，＋∞)，又(12)x0，∴1－(12)x1，值域为[0,1)．(2)定义域为R，由2x0得2x＋11，∴012x＋11，从而－2－22x＋10，则－11－22x＋11，即值域为(－1,1).•指数函数的图像及其变换•利用y＝2x的图像，如何变换得到下列函数的图像？试作出它们的图像．•(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2－x；(4)y＝－2x；(5)y＝－2－x；(6)y＝2|x|.•[思路分析]以y＝2x的图像为基础，通过平移、对称、翻折等变换可得问题中七个函数的图像．•[规范解答](1)将y＝2x图像向右平移1个单位可得到y＝2x－1的图像，如图①.•(2)将y＝2x图像向上平移1个单位可得到y＝2x＋1的图像，如图②.•(3)将y＝2x图像关于y轴对称，可得到y＝2－x的图像，如图③.•(4)将y＝2x图像关于x轴对称，可得到y＝－2x的图像，如图④.•(5)将y＝2x图像关于原点对称，可得到y＝－2－x的图像，如图⑤.•(6)将y＝2x图像位于y轴左边的部分删除，由y＝2|x|是偶函数，图像应关于y轴对称，只要作y轴右边部分的图像然后再作关于y轴的对称图像，就可得到y＝2|x|的图像，如图⑥.•[规律总结]前五个小题的图像变换方法我们已在前边学过，后两个小题是图像翻折问题．由y＝f(x)变到y＝|f(x)|，把x轴下方的图像上翻；由y＝f(x)变到y＝f(|x|)，把y轴左边图像删除，利用偶函数图像对称性补充完整．•指数函数f(x)＝ax(a0且a≠1)的图像过点(3，π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．[解析]由题意可得a3＝π，∴a＝3π＝π13，所以f(x)＝πx3，因此f(0)＝π0＝1，f(1)＝π13，f(－3)＝π－1＝1π.易错疑难辨析•函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，求实数a的值．•[错解]因为f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，所以有a2－3a＋3＝1.•解得a＝1或a＝2.•故a的值为1或2.•[辨析]指数函数y＝ax中要求a0且a≠1，解题中忽视了a的范围，导致出错．[正解]因为f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函数，所以有a2－3a＋3＝1a0且a≠1，解得a＝1或a＝2a0且a≠1，∴a＝2.