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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1函数第二章第二章§5简单的幂函数第1课时简单的幂函数课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习•数学史上很早就使用“幂”字，起先用于表示面、面积，后来扩充为表示平方或立方.1859年我国清末大数学家李善兰(1811～1882)译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词，如函数、极限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”就转译为若干个相同数之积.•1.幂函数•如果一个函数，底数是________，指数是________，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．幂函数的图像在同一坐标系中，如图所示幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1的图像．自变量x常数α•3．幂函数性质与图像•所有的幂函数在_________上有定义，并且图像都过点______，如果α0，则幂函数的图像还过_____，并在区间[0，＋∞)上________；如果α0，则幂函数在区间[0，＋∞)上________，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像_____________；当x趋向于＋∞时，图像______________．(0，＋∞)(1,1)(0,0)递增递减与y轴无限接近与x轴无限接近1.下列所给函数中，是幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝3xC．y＝x12D．y＝x2－1[答案]C[解析]幂函数的形式为y＝xα，只有C符合．•2．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过()•A．第四象限B．第三象限•C．第二象限D．第一象限•[答案]A•[解析]∵α∈R，x0，∴y＝xα0，∴图像不可能经过第四象限，故选A.3．在函数y＝1x2，y＝2x3，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数有()A．0个B．1个C．2个D．3个[答案]B[解析]只有y＝1x2是幂函数．•4．幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则f(8)的值等于__________．[答案]22[解析]设f(x)＝xα，∵点(4,2)在幂函数图像上，∴2＝4α，∴α＝12，∴f(x)＝x12，∴f(8)＝22.课堂典例讲练•函数f(x)＝(m2－m－5)xm－1是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，试确定m的值．•[思路分析]由已知f(x)是幂函数，且x0时是增加的，可先利用幂函数的定义求m的值，再利用单调性对求出的m值进行验证．•对幂函数定义的理解•[规范解答]根据幂函数的定义得m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2.•当m＝3时，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增加的；•当m＝－2时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减少的，•不符合题意．故m＝3.•[规律总结]形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：①系数为1；②指数为一常数；③后面不加任何项．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准，对本例来说，还要根据单调性验根，以免产生增根．下列函数为幂函数的是()A．y＝2x3－1B．y＝2xC．y＝1xD．y＝2x2•[答案]C•[解析]A、B、D都是幂函数经过变化得到的函数，C中，y＝x－1是幂函数.•幂函数的图像与性质讨论下列函数的定义域、值域，并作出函数图像．(1)y＝x4；(2)y＝x14；(3)y＝x－3.•[思路分析]把分数指数幂化为根式，并使根式有意义．•[规范解答](1)函数的定义域为R，值域为[0，＋∞)．•图像如图(1)所示．•(2)函数的定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)．•其图像如图(2)所示．(3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．其图像如图(3)所示．•[规律总结]1.画幂函数的图像时，可先画出其在第一象限内的图像，再由定义域、单调性得出在其他象限内的图像．•2．幂函数图像的特征：•(1)在第一象限内，直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小；在第一象限内，直线x＝1的左侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由小变大．•(2)当α0时，幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)点，在第一象限内，当0α≤1时，曲线上凸；当α≥1时，曲线下凸；当α0时，幂函数的图像都经过(1,1)点，在第一象限内，曲线下凸．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图像．已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为()A．－2，－12，12，2B．2，12，－12，－2C．－12，－2,2，12D．2，12，－2，－12•[答案]B[解析]解法1：在第一象限内，在直线x＝1的右侧，y＝xα的图像由上到下，指数α由大变小，故选B.解法2：赋值法．令x＝4，则4－2＝116，4－12＝12，412＝2,42＝16，易知选B.•幂函数单调性的应用比较下列各组数中两个数的大小．(1)(25)0.5与(13)0.5；(2)(－23)－1与(－35)－1；(3)(23)34与(34)23.[思路分析]题中给出的是三组幂值大小的比较．解答此题可借助幂函数的单调性或中间量进行比较．[规范解答](1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又2513，∴(25)0.5(13)0.5.(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23－35，∴(－23)－1(－35)－1.(3)∵函数y＝(23)x为减函数，又3423，∴(23)23(23)34，又∵函数y＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且3423，∴(34)23(23)23，∴(34)23(23)34.[规律总结]本类题是比较大小的基本题型，关键在于构造适当的函数，再利用函数的单调性比较大小．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－(19)78.[解析](1)函数y＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又33.1，∴3－523.1－52(2)－8－78＝－(18)78，又函数y＝x78在(0，＋∞)上为增函数，且1819，所以(18)78(19)78，即－8－78－(19)78.易错疑难辨析•当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝xα的图像恒在直线y＝x的下方，求α的取值范围．•[错解]如图(1)所示，当0α1时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xα的图像在直线y＝x的下方．•如图(2)所示，当α0时，也符合题意，•故α的取值范围是α1且α≠0.•[辨析]忽略了α＝0这一特殊情况，在求取值范围的题目时，一定要注意隐含条件的挖掘．•[正解]当0α1时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xα的图像在直线y＝x的下方，如图(1)所示．•当α0时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xα的图像也在直线y＝x的下方，如图(2)所示．•当α＝0时，对于x∈(1，＋∞)，y＝xα的图像还在直线y＝x的下方，如图(3)所示．•故α的取值范围是α1.•[规律总结]分类讨论题目要考虑全面，切不可丢掉情况．