高中数学北师大版必修一2.4.1《二次函数的图像》ppt课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1函数第二章第二章§4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习•二次函数是非常重要的基本初等函数，在我们的生活中具有广泛的应用，如炮弹飞行的路线、篮球运动员投篮时篮球飞行的轨迹、烟花在空中爆裂、圆形喷泉的水流等等都可以看成是二次函数的图像．要控制这些曲线，就需要研究曲线的性质，下面我们就在初中学习的二次函数的基础上对其做进一步的研究．•同学们请在同一坐标系内画出下列函数的图像，看一看它们有怎样的内在联系．•(1)y＝x2(2)y＝x2－2(3)y＝2x2－4x•1.二次函数•函数__________________叫作二次函数．它的定义域是____．•如果b＝c＝0，则函数变为________．我们知道，它的图像是一条顶点为________的抛物线．________时，抛物线开口向上，________时，抛物线开口向下．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)Ry＝ax2原点a0a0•2．二次函数的图像变换•(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像__________________________________得到；•(2)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由y＝ax2的图像__________________________________________________________________得到；•(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，可把它先______，再由y＝ax2的图像平移得到；横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a倍向左(h0)(或向右(h0))平移|h|个单位，再向上(k0)(或向下(k0))平移|k|个单位配方•(4)函数y＝f(x＋a)的图像可由y＝f(x)的图像_________________________________得到；•(5)函数y＝f(x)＋k的图像可由y＝f(x)的图像_________________________________得到．•3．二次函数解析式的表示法•(1)________，形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．•(2)________，形如y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．•(3)________，形如y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．向左(a0)(或向右(a0))平移|a|个单位向上(k0)(或向下(k0))平移|k|个单位一般式顶点式两根式•[答案]D•[解析]在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，|a|越大，其图像开口越小．1.下列函数中，其图像开口最小的是()A．f(x)＝3x2B．f(x)＝12x2＋x－1C．f(x)＝－12x2－xD．f(x)＝－4x2＋1•2．已知二次函数f(x)＝x2－x，则其开口方向和与x轴交点的个数分别是()•A．向上2B．向上0•C．向下1D．向下2•[答案]A•[解析]因为a＝10，所以开口向上，又y＝x2－x＝x(x－1)，令y＝0得x＝0或1，所以f(x)与x轴有两个交点，故选A.•3．已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的()•[答案]D•[解析]排除法，A图中一次函数a0，二次函数a0；同理排除C；在B图中由直线知c0，而二次函数中c0故排除B.选D.•4．已知二次函数f(x)的图像经过点A(1，－1)，B(3,3)，C(－2,8)，则其解析式为________．•[答案]f(x)＝x2－2x[解析]设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意得a＋b＋c＝－1，9a＋3b＋c＝3，4a－2b＋c＝8，解得a＝1，b＝－2，c＝0.故解析式为f(x)＝x2－2x.5．二次函数y＝12x2＋3x＋52的图像是由函数y＝12x2的图像先向______(左，右)平移________个单位，再向______(上、下)平移________个单位得到．[答案]左3下2[解析]∵y＝12x2＋3x＋52＝12(x＋3)2－2，∴将y＝12x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到y＝12x2＋3x＋52的图像．课堂典例讲练•当m为何值时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．•[思路分析]根据定义y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．•二次函数的定义[规范解答]由题意得m2－9m＋20＝2m－3≠0解得m＝6或m＝3且m≠3，∴m＝6，∴当m＝6时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．[规律总结]不要忽略条件m－3≠0.•已知函数y＝(4a＋3)x4a2－a－1＋x－1是一个二次函数，求满足条件的a的值．[解析]由题意可得4a＋3≠04a2－a－1＝2，即a≠－34a＝－34或a＝1∴a＝1.即a的值为1时，函数为二次函数.•求二次函数解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(12)＝8，试求此二次函数的解析式．[思路分析]本题在设二次函数的解析式时既可以设一般式，也可以从条件中寻求隐含信息(对称轴、顶点坐标等)，设f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式求解．[规范解答]解法1：设所求函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据题意，得4a＋2b＋c＝－1a－b＋c＝－1a4＋b2＋c＝8，解得a＝－4，b＝4，c＝7，∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法2：∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴是x＝2＋－12＝12.又∵f(12)＝8，∴顶点坐标为(12，8)．于是设f(x)＝a(x－12)2＋8，又∵f(2)＝－1.∴a(2－12)2＋8＝－1，∴a＝－4，∴f(x)＝－4(x－12)2＋8＝－4x2＋4x＋7.•[规律总结]求二次函数的解析式常用待定系数法，已知对称轴或顶点坐标或最值等有关信息时，解析式可设为f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式；已知抛物线上三点坐标或解析式的性质时，解析式可设为一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．已知二次函数的图像经过原点和点A(1,8)，对称轴为直线x＝－32，求这个二次函数的解析式．[解析]设二次函数的解析式为y＝ax＋322＋k(a≠0)，由题意得94a＋k＝0，254a＋k＝8，解得a＝2，k＝－92.∴y＝2x＋322－92.•二次函数的平移变换•如何由函数y＝2x2的图像变换为函数y＝2x2＋4x－6的图像？•[思路分析]先配方，再平移．•[规范解答]将y＝2x2＋4x－6配方得•y＝2(x＋1)2－8，因此，把函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，得到函数y＝2(x＋1)2的图像，再向下平移8个单位长度，得到函数y＝2(x＋1)2－8的图像，即函数y＝2x2＋4x－6的图像．•[规律总结]1.函数y＝ax2(a≠0)的图像向左平移|h|个单位长度(h正左移，h负右移)得函数y＝a(x＋h)2的图像，再向上或向下平移|k|个单位长度(k正上移，k负下移)得y＝a(x＋h)2＋k的图像．•2．要得到y＝ax2＋bx＋c的图像，先把函数配方成y＝a(x＋h)2＋k的形式再由1变换得到．在同一直角坐标系内，画出函数y＝－12x2；y＝－12x2－1；y＝－12(x＋1)2－1的图像，并说明图像之间的关系．[解析]列表如下：x－4－3－2－10123y＝－12x2－8－4.5－2－0.50－0.5－2－4.5y＝－12x2－1－9－5.5－3－1.5－1－1.5－3－5.5y＝－12(x＋1)2－1－5.5－3－1.5－1－1.5－3－5.5－9在同一坐标系内描点、连线，如图所示．对三条抛物线在坐标系内的形状和位置比较后可知，(1)抛物线y＝－12x2，y＝－12x2－1，y＝－12(x＋1)2－1的形状相同．(2)将抛物线y＝－12x2向下平移1个单位，就得到抛物线y＝－12x2－1，将抛物线y＝－12x2－1向左平移1个单位，就得到抛物线y＝－12(x＋1)2－1.易错疑难辨析•如果函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的图像恒在x轴下方，试求实数a的取值范围．[错解]要使函数f(x)的图像恒在x轴下方，只要抛物线开口向下，与x轴无交点．所以a－20，Δ＝[2a－2]2－4a－2×－40，解得－2a2.因此实数a的取值范围为(－2,2)．[辨析]产生错误的原因是忘记了函数y＝ax2＋bx＋c是二次函数的条件为a≠0，此题在a＝2时f(x)＝－4，图像也恒在x轴下方．•[规律总结]函数y＝ax2＋bx＋c为二次函数的条件是a≠0，如果二次项系数是字母或式子时，不能确定是否为0，也就是不能确定函数y＝ax2＋bx＋c是否为二次函数时，此时一定要分类讨论，注意二次项系数为0的情况．[正解]当a＝2时，函数可化为f(x)＝－4满足题意；当a≠2时，函数f(x)为二次函数，要使图像恒在x轴下方，只需a－20，Δ＝[2a－2]2－4a－2×－40，解得－2a2.综上所述，实数a的取值范围是(－2,2]．