高中数学北师大版必修一2.2.2《函数的表示法》ppt课件

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1函数第二章第二章§2对函数的进一步认识2.2函数的表示法课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习•如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？•1.函数的表示法列表法用________的形式表示两个变量之间________关系的方法．图像法用________把两个变量间的________关系表示出来的方法．解析法一个函数的________可以用自变量的___________(简称________)表示出来的方法.表格函数图像函数对应关系解析表达式解析式•2.分段函数•(1)在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫________．•(2)分段函数的定义域是各段定义域的________，其值域是各段值域的________．(填“交集”或“并集”)分段函数并集并集•1.已知函数f(x)由下表给出：•则f(2)的值为()•A．4B．2•C．0D．1•[答案]D•[解析]本题是列表的形式给出函数表示方法，由表可知当x＝2时，f(2)＝1，故选D.x－1012f(x)4201•2．函数y＝|x|的图像是()•[答案]B[解析]∵y＝|x|＝xx≥0－xx0，∴B选项正确．3．下表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高处h落下时，弹跳高度d与下落高度h的关系，则下面的式子能表示这种关系的是()h5080100150…d25405075…A.d＝hB．d＝2hC．d＝h－25D．d＝h2[答案]D[解析]本题考查列表法表示函数，易得h与d之间的关系为：d＝h2.4．已知函数f(x)＝x2＋1，x≤0，2x＋1，x0，若f(x)＝10，则x＝________.[答案]－3或92[解析]当x≤0时，由f(x)＝10可得x2＋1＝10，所以x＝－3(x＝3舍去)；当x0时，由f(x)＝10可得2x＋1＝10，所以x＝92.故x的值等于－3或92.•5．已知f(x)是正比例函数，且过点(1,1)，则f(x)＝________.•[答案]x•[解析]设f(x)＝ax(a≠0)．∴f(1)＝a＝1，•∴f(x)＝x.课堂典例讲练•某商场经营一批进价是30元的商品，在市场试销中发现，此商品销售单价x元与日销售量y台之间有如下关系：•在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)的对应点，并确定你认为比较适合的x与y的一个函数关系式y＝f(x)．•函数的三种表示方法x35404550…y57422712…•[思路分析]由对应关系表确定变量x，y关系，作出图像，并判断函数类型求出解析式．[规范解答]作出点(35,57)，(40,42)，(45,27)，(50,12)，并用直线将其连接起来，如下图，则可知其为一次函数，不妨设y＝kx＋b(k≠0)，将点(35,57)，(40,42)代入其中，即57＝35k＋b42＝40k＋b，解之得k＝－3b＝162，即y＝162－3x，台数为非负，因此162－3x≥0，即x≤54，且由于进价为30元，从而函数的定义域为[30,54]，于是y＝162－3x(x∈[30,54])．•[规律总结]这是一个综合了函数三种表示方法(列表法、图像法以及解析法)的问题．由表格可看到每一个销售单价与相应日销售量的关系，但却无法明确后面单价与日销售量的确切关系，在图像法中，看到日销售量的发展趋势，而解析法则能让我们明确其最终趋势，知道定什么样的价便有怎样的日销售量，不仅知道单价为35元时的日销售量，还能知道36元时的日销售量，通过此题能让我们充分认识到函数三种表示法的优点．•某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x(台)与收款总额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．•[解析](1)列表法：x(台)12345y(元)3000600090001200015000x(台)678910y(元)1800021000240002700030000(2)图像法：(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}.•求函数解析式求下列函数的解析式：(1)已知f(x)＝x2＋2x，求f(2x＋1)；(2)已知f(x－1)＝x＋2x，求f(x)；(3)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；(4)已知f(x)－2f1x＝3x＋2，求f(x)．[思路分析]根据题中所给条件，可用拼凑法、换元法、待定系数法、解方程组的方法求解．[规范解答](1)f(2x＋1)＝(2x＋1)2＋2(2x＋1)＝4x2＋8x＋3.(2)解法1：f(x－1)＝(x－1)2＋4(x－1)＋3，而x－1≥－1，故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．解法2：设t＝x－1，则t≥－1，且x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3.故所求的函数f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)．(3)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.∴a2＝4，ab＋b＝3，解得a＝2，b＝1，或a＝－2，b＝－3.故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3.(4)∵f(x)－2f1x＝3x＋2，①∴f1x－2f(x)＝3·1x＋2.②①②联立解得f(x)＝－x－2x－2.故所求的函数f(x)＝－x－2x－2(x≠0)．•[规律总结]1.换元法(或配凑法)是求函数解析式的重要方法，若不清楚函数类型，比如已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法，配凑法是将f[g(x)]右端的代数式配凑成关于g(x)的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法可令g(x)＝t及解出x，即用t表示x，然后代入f[g(x)]中即可求得f(t)，从而求得f(x)．•2．待定系数法是求函数解析式的常用方法：•若已知函数类型，可用待定系数法求解，若f(x)是一次函数，可设f(x)＝kx＋b(k≠0)，若f(x)是二次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后利用题目中的已知条件，列出待定系数的方程组，进而求出待定的系数．•(1)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3)．•(2)一次函数的图像过点(0，－1)，(1,1)，求其解析式．•[解析](1)解法1令x－1＝t，则x＝t＋1，•∴g(t)＝g(x－1)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，•∴g(x)＝2x＋8，∴g(3)＝2×3＋8＝14.•解法2令x－1＝3，则x＝4，∴g(3)＝2×4＋6＝14.(2)设一次函数的解析式f(x)＝kx＋b，(k≠0)，由题意知－1＝0·k＋b1＝1·k＋b，∴k＝2b＝－1，∴解析式为f(x)＝2x－1.•函数的图像及应用作出下列函数图像并求其值域．(1)y＝1－x(x∈Z，且|x|≤2)；(2)y＝2x2－4x－3(0≤x3)；(3)y＝1x0x1，xx≥1.•[思路分析](1)的图像为一条直线上的孤立的点；•(2)该函数图像为抛物线的一部分，借助定义域及特殊点画出图像，由图像可得值域；•(3)是分段函数，在不同定义域上分别作出图像即可．•[规范解答](1)因为x∈Z，且|x|≤2，•∴x∈{－2，－1,0,1,2}．•所以图像为一直线上的孤立点(如图(1))．•由图像知，y∈{－1,0,1,2,3}．•(2)∵y＝2(x－1)2－5，•∴当x＝0时，y＝－3；•当x＝3时，y＝3；•当x＝1时，y＝－5.•所画函数图像如图．•因为x∈[0,3)，故图像是一段抛物线(如图(2))．•由图像可知，y∈[－5,3)．(3)当0x1时，y＝1x的图像是双曲线的一部分．当x≥1时，图像为直线y＝x的一部分．如图(3)，由此可知，值域y∈[1，＋∞)．•[规律总结]一般地，作函数图像主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．•某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数图像如图，下列四种说法：•①前三年中，产量增长的速度越来越快；•②前三年中，产量增长的速度越来越慢；•③第三年后，这种产品停止生产；•④第三年后，年产量保持不变．•其中说法正确的是()•A．②与③B．②与④•C．①与③D．①与④•[答案]A•[解析]由于纵坐标表示八年来前t年产品生产总量，故②③正确.•分段函数的图像及应用•设x∈(－∞，＋∞)，求函数y＝2|x－1|－3|x|的最大值．•[思路分析]本题涉及含绝对值函数，应先分段讨论去掉绝对值符号，再画出分段函数的图像，然后解之．•[规范解答]当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；•当0≤x1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；•当x0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.因此y＝－x－2，x≥1，－5x＋2，0≤x1，x＋2，x0.依上述解析式作出图像如图所示．由图像可以看出，当x＝0时，ymax＝2.•[规律总结]函数图像直观性强，能够帮助我们正确理解概念和有关性质，数形结合是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效途径，便于发现问题、启发思考，有助于培养综合运用数学知识来解决问题的能力．(1)已知函数f(x)＝x－2，|x|≤11＋x2，|x|1，则f(f(12))＝________；(2)已知函数f(x)＝x＋1，x≥01|x|，x0，若f(x)＝2，则x＝________.[答案](1)134(2)1或－12[解析](1)由于|12|≤1，所以f(12)＝12－2＝－32，而|－32|1，所以f(－32)＝1＋(－32)2＝134.所以f(f(12))＝134.(2)若x≥0，由x＋1＝2，得x＝1；若x0，由1|x|＝2，得x＝±12，由于120，舍x＝12，所以x＝－12.故x＝1或－12.易错疑难辨析已知函数f(x)＝1xx∈－∞，0x2x∈[0，＋∞，求f(x＋1)．[错解]f(x＋1)＝1x＋1x∈－∞，0x＋12x∈[0，＋∞.[辨析]x＝－1∈(－∞，0)，此时1x＋1无意义，故上述解法错误．错误原因：根据函数的定义，若f(x)的定义域为A，则当f[g(x)]中的g(x)∈A时，f[g(x)]才有意义，因而求f[g(x)]时，必须要考虑g(x)∈A.[正解]f(x＋1)＝1x＋1x＋1∈－∞，0，x＋12x＋1∈[0，＋∞，即f(x＋1)＝1x＋1x∈－∞，－1，x＋12x∈[－1，＋∞.