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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·必修1函数第二章第二章§2对函数的进一步认识2.3映射课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业4课前自主预习1课前自主预习某魔术师猜牌的表演过程是这样的，表演者手中持有六张扑克牌，不含王牌和牌号数相同的牌，让6位观众每人从他手里任摸一张，并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号，牌号数是这样规定的，A为1，J为11，Q为12，K为13，其余的以牌上的数字为准，然后，表演者让他们按如下的方法进行计算，将自己的牌号乘2加3后乘5，再减去25，把计算结果告诉表演者(要求数值绝对准确)，表演者便能立即准确地猜出谁拿的是什么牌，你能说出其中的道理吗？1.映射的概念两个________集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的________元素x，B中总有________的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的________，记作________．2．像与原像给定一个从集合A到集合B的映射f：A→B，A中的元素____称为原像，B中的__________称为x的像，记作f：x→y.非空每一个唯一映射f：A→Bx对应元素y3．一一映射如果映射f：A→B满足：A中每一个元素在B中都有_______与之对应，A中的________的像也不同，B中的每一个元素都有____．我们把这种映射叫一一映射，也叫一一对应．4．映射与函数设A，B是两个________，f是A到B的一个映射，那么映射f：A→B就叫作A到B的________．在函数中，________的集合称为定义域，________的集合称为值域．唯一的像不同元素原像非空数集函数原像像1.给出下列四个对应，其中是映射的是()A．①②B．①③C．②③D．②④[答案]B[解析]在②中元素2没有像，④中元素1在像的集合中有两个元素和它对应，故②④不是映射．2．下面集合P到集合M的对应关系f是映射的是()A．P＝{自然数}，M＝{整数}，f：求算术平方根B．P＝{整数}，M＝{奇数}，f：x→x2C．P＝{整数}，M＝{有理数}，f：求倒数D．P＝{正整数}，M＝{正整数}，f：x→x＋1[答案]D[解析]选项A中，P中元素2的算术平方根是2，但2∉M，选项B中，P中元素4的对应元素为42＝2，但2∉M，故这两个对应都不是映射；选项C中，0∈P，但0没有倒数，故该对应不是映射，只有D选项符合．3．在从集合A到集合B的映射中，下列说法正确的是()A．集合B中的某一个元素b的原像可能不止一个B．集合A中的某一个元素a的像可能不止一个C．集合A中的两个不同元素所对应的像必不相同D．集合B中的两个不同元素的原像可能相同[答案]A[解析]根据映射的概念可知：A中元素必有唯一确定的像，但在像集中一个像可以有不同的原像，故A正确．4．a，b为实数，集合M＝{ba，1}，N＝{a,0}，f：x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b的值等于________．[答案]1[解析]因为f：x→x，∴M＝N，∴ba＝0，b＝0，a＝1，故a＋b＝1.5．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则从A到B的不同映射有________个．[答案]4[解析]集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，从A到B的不同映射为：课堂典例讲练映射、一一映射与函数的判断判断下列对应法则是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.(2)A＝R，B＝{正实数}，对应关系f：y＝x2，x∈A，y∈B.[思路分析]解答时可先从映射的定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一的元素与之对应，然后再根据一一映射的定义及映射与函数的关系确定该对应关系是否为一一映射及是否是函数．(3)A＝{x∈R|x0}，B＝R，对应关系f：A中的元素对应它的平方根．(4)A＝{x|x0}，B＝{x|x0}，f：y＝1x，x∈A，y∈B.[规范解答](1)是映射，且是函数，但不是一一映射，因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应，又A、B均为非空数集，所以此映射是函数．因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射．(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为A中的元素0在集合B中没有对应的元素．(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数和一一映射．因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应．(4)是映射，是函数，也是一一映射．因为对A中的任一个元素，其倒数是唯一的，即在B中有唯一的元素与之对应．又由于A，B都是非空数集，故此映射也是函数．又因为对于不同的正数，其倒数也是不同的，且B中每个正数都是A中某个正数的倒数，故这个映射也是一一映射．[规律总结]判断一个对应是否构成从A到B的映射时，先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素．若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立．想说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可．若进一步判断该映射是否是函数，只需看两个集合A，B是否是非空数集即可．若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原像，集合A中不同元素对应的像不同．判断下列对应是否为集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？(1)A＝N＋，B＝N＋，对应关系f：x→|x－1|；(2)A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，对应关系f：x→x2；(3)A＝{1,2,3,4}，B＝{4,5,6,7}，对应关系f：x→x＋3.[解析](1)集合A＝N中元素1在对应关系f的作用下为0，而0∉N＋，即A中元素1在B中没有元素与之对应，故该对应不是从A到B的映射．(2)集合A中元素6在对应关系f的作用下为3，而3∉B，故该对应不是从A到B的映射．(3)集合A中的每一个元素在对应关系f的作用下，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，所以此对应是从A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有唯一的原像与之对应，故该对应是一一映射．又A，B是非空数集，因此该对应也是从集合A到集合B的函数.求映射中的像与原像已知映射f：A→B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(x＋2y＋2,4x＋y)．(1)求A中元素(5,5)的像；(2)求B中元素(5,5)的原像．[思路分析]这两个问题是一个互逆运算过程，求像需代入对应关系，而求原象需列方程组求得．[规范解答](1)当x＝5，y＝5时，x＋2y＋2＝17,4x＋y＝25.故A中元素(5,5)的像是(17,25)．(2)令B中元素(5,5)的原像是(x，y)，则x＋2y＋2＝54x＋y＝5，解得x＝1y＝1.故B中元素(5,5)的原像是(1,1)．[规律总结]1.解答此类问题，关键是：(1)分清原像和像；(2)搞清楚由原像到像的对应法则．2．一般已知原像求像时，常采用代入法，已知像求原像时，通常由方程组法求解，求解过程中要注意像与原像的区别和联系．若本例条件不变，问集合A中是否存在元素(a，b)使它的像仍是自身？若存在，求出这个元素，若不存在，请说明理由．[解析]设存在这样的元素(a，b)，则a＝a＋2b＋2b＝4a＋b，∴a＝0，b＝－1，即(0，－1)为所求元素.映射个数问题已知集合A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}．(1)求从A到B的映射的个数；(2)若从A到B的映射f满足f(a)＋f(b)－f(c)＝0，则这样的映射有多少个？[思路分析](1)由于a，b，c对应的像都可以是－1,0,1中的任一个，无论哪个元素都满足题意，所以a，b，c都有三种可能的对应．(2)首先要理解f(a)，f(b)，f(c)的含义，它们是指a，b，c在集合B中的像，可先由条件f(a)＋f(b)＝f(c)的分析入手，分情况找出满足条件的映射．[规范解答](1)因为3×3×3＝27，所以从A到B的映射的个数为27.(2)①当A中三个元素都对应0时，f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝f(c)，有一个映射．②当A中三个元素对应B中两个元素时满足f(a)＋f(b)＝f(c)的映射有4个，它们分别是f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1；f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1；f(a)＝－1，f(b)＝0，f(c)＝－1；f(a)＝0，f(b)＝－1，f(c)＝－1.③当A中的三个元素对应B中三个元素时，有两个映射f(a)＝－1，f(b)＝1，f(c)＝0；f(a)＝1，f(b)＝－1，f(c)＝0.综上，满足条件的映射有7个．[规律总结]对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{a，b}．求：(1)A到B的不同映射f：A→B有多少个？(2)B到A的不同映射f：B→A有多少个？[解析](1)1的像有2种情况，2的像有2种情况，3的像也有2种情况，结合映射定义知，对A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应．允许多对一，故有2×2×2＝8(种)情况即8个映射．(2)a的像有1,2,3共3种情况，同时b的像也有3种情况，所以f：B→A的映射共有3×3＝9(种)情况即9个映射．易错疑难辨析根据下列所给的对应关系，回答问题：①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；②A＝N，B＝N＋，f：x→y＝|x－1|，x∈A，y∈B；③A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；④A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋|x|，x∈A，y∈B.上述四个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．[错解]根据映射与函数的定义知①②③是映射也是函数，而④中，x＝0时y不存在，∴④既不是映射也不是函数．[辨析]判断对应是否是A到B的映射，应考查集合A中的每一个元素是否在集合B中都有对应元素，且对应元素唯一．[正解]①对x∈A，在f：x→y＝3x＋1作用下在B中都有唯一的像，因此能构成映射，又A、B均为数集，从而能构成函数；②当x＝1时，y＝|x－1|＝|1－1|＝0∉B，即A中的元素1在B中无像，因而不能构成映射，从而不能构成函数；[答案]①③①[规律总结]判定映射、一一映射、函数必须根据定义，对所给对应关系做出正确判断，不能凭感觉．③高一(2)班的每一个同学都对应着自己的身高，因而能构成映射，但由于高一(2)班的同学不是数集，从而不能构成函数；④当x≤0时，|x|＋x＝0，从而1|x|＋x无意义，因而在x≤0时，A中元素在B中无像，所以不能构成映射，从而不能构成函数．