抛物线复习课件和练习最新版

第六节抛物线1.抛物线的定义满足以下三个条件的点的集合是抛物线：(1)在平面内.(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离_____.(3)定点_____定直线.相等不过2.抛物线的标准方程与简单性质标准方程______(p0)______(p0)______(p0)________(p0)P的几何意义：焦点F到准线l的距离图形y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py顶点______对称轴____(x轴)____(y轴)焦点坐标F______F______F______F______离心率e=__O(0,0)y=0x=0p(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)21准线方程_______________________范围__________________________________焦半径(其中P(x0,y0))|PF|=______|PF|=_______|PF|=______|PF|=_______px2px2py2py2x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R0px20px20py20py2判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(,0)，准线方程是x=.()a4a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点F(,0)的弦，若A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1x2=,y1y2=-p2，弦长|AB|=x1+x2+p.()p22p41a14a14a【解析】(1)错误.当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)错误.方程y=ax2(a≠0)可化为x2=y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是(0,)，准线方程是y=-.(3)错误.抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形,不是中心对称图形.(4)正确.当AB斜率不存在时，AB方程为x=，结论显然成立；当AB斜率存在时，设AB的方程为y=k(x-),与y2=2px(p0)联立消去y得：k2x2-p(2+k2)x+=0,∴又y1=k(x1-),y2=k(x2-),22kp42212122p2kpxx,xx,k4p2p2p2p2∴y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+]由抛物线定义得：|AF|=x1+,|BF|=x2+,∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√p22p4p2p2222222p2kppp42kk]p.4[1.坐标平面内到定点F(-1，0)的距离和到定直线l:x=1的距离相等的点的轨迹方程是()(A)y2=2x(B)y2=-2x(C)y2=4x(D)y2=-4x【解析】选D.由抛物线的定义知点的轨迹是以F(-1,0)为焦点的抛物线，且=1,∴p=2，故方程为y2=-4x.p22.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为()(A)-2(B)2(C)-4(D)4【解析】选D.椭圆的右焦点为（2，0），所以22xy16222xy162p2,p4.2即3.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()(A)2(B)3(C)4(D)5【解析】选D.由抛物线定义得|AF|=4+=4+=5.p2224.抛物线y=8x2的准线方程为()(A)x=-2(B)(C)(D)【解析】选D.抛物线y=8x2的标准方程为x2=y，∴焦点在y轴上，且2p=,∴p=,∴准线方程为y=-.18181161321x21y?81y325.线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦，若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于____________.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2)则|AB|=x1+x2+=4,∴x1+x2=,弦AB的中点的横坐标为∴中点到直线x+=0的距离为：答案：7212xx7.2412941212719().424考向1抛物线的定义及其应用【典例1】(1)(2013·九江模拟)已知动圆过定点F(,0)，且与直线x=-相切，其中p0,则动圆圆心的轨迹E的方程为_____________.(2)(2012·安徽高考)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|＝3，则|BF|＝______.p2p2(3)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_______.【思路点拨】（1）根据已知条件得到动点满足的等量关系，再结合抛物线定义，先定形状，再求方程.（2）利用抛物线的定义求出A点坐标，将直线AF的方程与y2=4x联立，求出B点坐标，再利用抛物线定义求出|BF|.（3）利用抛物线的定义，将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离，数形结合求解.【规范解答】(1)设M为动圆圆心，过点M作直线x=-的垂线，垂足为N，由题意知|MF|=|MN|，即动点M到定点F(,0)与定直线x=-的距离相等，由抛物线定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(,0)为焦点，x=-为准线，所以轨迹方程为y2=2px(p0).答案：y2=2px(p0)p2p2p2p2p2（2）由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|=3，由抛物线定义知，点A到准线x=-1的距离为3，∴点A的横坐标为2，将x=2代入y2=4x，得y2=8,不妨设A在第一象限，所以y=22,∴A(2,),∴直线AF的方程为y=(x-1).又解得由图知，点B的坐标为(),∴|BF|=.A在第四象限时，同理|BF|=答案：22222y22x1,y4x,1x2,x,2y22.y2或1,2213122323.2(3)如图，由抛物线的定义知，点P到该抛物线的准线的距离等于点P到其焦点的距离，因此点P到点(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和即为点P到点(0，2)的距离与点P到焦点的距离之和，显然当P0，F，(0，2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于22117(0)20.22答案：172【互动探究】在本例题(2)的条件下，如何求△AOB的面积？【解析】由题(2)的解析知A(2,),B(,-),∴S△AOB=|OF|·|yA-yB|=22122121312222.22【拓展提升】利用抛物线的定义可解决的两类问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.【变式备选】直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线交于P，Q两点，由P，Q分别向准线引垂线PR，QS，垂足分别为R，S，如果|PF|=a，|QF|=b，M为RS的中点，则|MF|为()(A)a+b(B)（a+b）(C)ab(D)12ab【解析】选D.如图所示，由抛物线定义知，连结RF，SF，则∠RFS=90°.又M是中点，22RSabab2ab（）（）1MFRSab.2考向2抛物线的标准方程与简单性质【典例2】(1)(2012·山东高考)已知双曲线C1：的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()(A)x2=y(B)x2=y(C)x2=8y(D)x2=16y2222xy1(a0,b0)ab＝8331633（2）（2013·宝鸡模拟）以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（-2，-4）的抛物线方程为___________.【思路点拨】(1)先利用离心率为2，求出渐近线方程，再利用焦点到渐近线的距离为2构建方程求p，从而求解.(2)利用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论.【规范解答】(1)选D.因为双曲线C1：的离心率为2，∴,∴b=a,∴双曲线的渐近线方程为x±y=0,∴抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点F(0,)到双曲线C1的渐近线的距离为,∴p=8.∴所求的抛物线方程为x2=16y.2222xy1(a0,b0)ab＝22cab2aa33p2p|30|222(2)由于点P在第三象限.①当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2=-2px（p＞0），把点P（-2，-4）代入得：(-4)2=-2p×(-2)，解得p=4，∴抛物线方程为y2=-8x.②当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2=-2py（p＞0），把点P（-2，-4）代入得：(-2)2=-2p×（-4）.解得∴抛物线方程为x2=-y,综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y.答案：y2=-8x或x2=-y1p2，【拓展提升】1.求抛物线的标准方程的方法及流程(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可.(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.2.确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.【变式训练】(1)(2013·蚌埠模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切，则p的值为()(A)(B)1(C)2(D)4【解析】选C.由y2=2px，得抛物线准线方程为x=-，圆x2+y2-6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16，由圆心到准线的距离等于半径得：3+=4，所以p=2.p2p212(2)焦点在直线x-2y-4=0上的抛物线的标准方程是_________.【解析】令x=0得y=-2；令y=0,得x=4.∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2).当焦点为(4，0)时，=4,∴p=8,此时抛物线方程为y2=16x；p2当焦点为(0，-2)时，=2，∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.∴所求抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案：y2=16x或x2=-8yp2考向3直线与抛物线的综合问题【典例3】(2013·南昌模拟)如图所示，F是抛物线x2=2py(p0)的焦点，点R(1，4)为抛物线内一定点，点Q为抛物线上一动点，|QR|+|QF|的最小值为5.(1)求抛物线的方程.(2)已知过点P(0，-1)的直线l与抛物线x2=2py(p0)相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，l1，l2分别是该抛物线在A，B两点处的切线，M，N分别是l1，l2与直线y=-1的交点.求直线l的斜率的取值范围，并证明|PM|=|PN|.【思路点拨】(1)利用抛物线定义，并数形结合寻找到|QR|+|QF|取最小值为5的条件，构建p的方程求解.(2)建立l的方程并与x2=2py(p0)联立消去y得一元二次方程，使判别式Δ0求斜率的取值范围，再建立l1，l2的方程，只需证明xM+xN=0即xN=-xM即可.【规范解答】(1)设抛物线的准线为l,过Q作QQ′⊥l于Q′，过R作RR′⊥l于R′，由抛物线定义知|QF|=|QQ′|，|QR|+|QF|=|QR|+|QQ′|≥|RR′|(折线段大于垂线段)，当且仅当R，Q，R′三点共线时取等号.由题意知|RR′|＝5，即4+=5⇒p=2，故抛物线的方程为x2=4y.p2（2）由已知条件可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l:y=kx-1,则⇒x2-4kx+4=0①依题意，有Δ=16k2-160⇒k-1或k1.由x2=4y⇒y=x2⇒y′=x,所以抛物线在A处的切线l1的方程为2ykx1,x4y,141222111111111yxxxx,yxxx.42