高三一轮复习1.1集合的概念与运算教案(教师版)

第1页共8页§1.1集合的概念与运算【2014高考会这样考】1.考查集合中元素的互异性，以集合中含参数的元素为背景，探求参数的值；2.求几个集合的交、并、补集；3.通过集合中的新定义问题考查创新能力．【复习备考要这样做】1.注意分类讨论，重视空集的特殊性；2.会利用Venn图、数轴等工具对集合进行运算；3.重视对集合中新定义问题的理解．1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN*(或N＋)ZQRC2.集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⊆A，B(B≠)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.第2页共8页交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A.[难点正本疑点清源]1．正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用．在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．2．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．3．正确区分∅，{0}，{∅}∅是不含任何元素的集合，即空集．{0}是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.{∅}是含有一个元素∅的集合．∅⊆{0}，∅⊆{∅}，∅∈{∅}，{0}∩{∅}＝∅.题型一集合的基本概念例1(1)下列集合中表示同一集合的是(B)A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}例如：(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则b－a＝___2_.思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解集合中元素的特征．解析(1)选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有的点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有的点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．(2)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0，所以a＋b＝0，得ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.探究提高(1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防止所得结果违背集合中元素的互异性．第3页共8页若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝0或98_.解析∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．当a＝0时，x＝23符合要求．当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝98.故a＝0或98.题型二集合间的基本关系例2已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．思维启迪：若B⊆A，则B＝∅或B≠∅，要分两种情况讨论．解：①当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.②当B≠∅时，若B⊆A，如图．则m＋1≥－22m－1≤7m＋12m－1，解得2m≤4.综上，m的取值范围为m≤4.变式：（1）集合A与B中的等号问题，（四种情况：两开两闭，一开一闭）（2）集合A与B的关系。例如：,,ABABAB等探究提高(1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝_4___.解析由log2x≤2，得0x≤4，即A＝{x|0x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a4，即c＝4.变式：集合A与B的关系。题型三集合的基本运算例3设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，则m的值是_1或2__．思维启迪：本题中的集合A，B均是一元二次方程的解集，其中集合B中的一元二次方程含有不确定的参数m，需要对这个参数进行分类讨论，同时需要根据(∁UA)∩B＝∅对集合A，B的关系进行转化．解析A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A，∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.第4页共8页∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验知m＝1和m＝2符合条件．∴m＝1或2.探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解．集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如A∪B＝A⇔B⊆A，(∁UA)∩B＝∅⇔B⊆A等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)若(∁RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．解(1)∵A＝{x|12≤x≤3}，当a＝－4时，B＝{x|－2x2}，∴A∩B＝{x|12≤x2}，A∪B＝{x|－2x≤3}．(2)∁RA＝{x|x12或x3}，当(∁RA)∩B＝B时，B⊆∁RA，即A∩B＝∅.①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；②当B≠∅，即a0时，B＝{x|－－ax－a}，要使B⊆∁RA，需－a≤12，解得－14≤a0.综上可得，实数a的取值范围是a≥－14.题型四集合中的新定义问题例4设符号@是数集A中的一种运算：如果对于任意的x，y∈A，都有x@y＝xy∈A，则称运算@对集合A是封闭的．设A＝{x|x＝m＋2n，m、n∈Z}，判断A对通常的实数的乘法运算是否封闭？解设x＝m1＋2n1，y＝m2＋2n2，那么xy＝(m1＋2n1)×(m2＋2n2)＝(m1n2＋m2n1)2＋m1m2＋2n1n2.令m＝m1m2＋2n1n2，n＝m1n2＋m2n1，则xy＝m＋2n，由于m1，n1，m2，n2∈R，所以m，n∈R.故A对通常的实数的乘法运算是封闭的．探究提高本题旨在考查我们接受和处理新信息的能力，解题时要充分理解题目的含义，进行全面分析，灵活处理．第5页共8页已知集合S＝{0,1,2,3,4,5}，A是S的一个子集，当x∈A时，若有x－1∉A，且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集共有___6_____个．解析由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元素”，如{0,1,2,3}，{0,1,3,4}，{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有6个．集合中元素特征认识不明致误典例：(5分)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为(D)A．3B．6C．8D．10易错分析本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x，y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．解析∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.答案D温馨提醒判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、(x，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的定义域，{y|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的值域，{(x，y)|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)图象上的点．遗忘空集致误典例：(4分)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为0，13，－12易错分析从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，易遗忘S＝∅的情况．解析(1)P＝{－3,2}．①当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；②当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－1a，为满足S⊆P可使－1a＝－3或－1a＝2，即a＝13或a＝－12.故所求集合为0，13，－12.温馨提醒(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如S＝∅时，a＝0；第6页共8页二是易忽略对字母的讨论．如－1a可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．失误与防范1．空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．A组专项基础训练一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·广东)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁UM等于(C)A．UB．{1,3,5}C．{3,5,6}D．