高考数学一轮复习：全套教案(含答案)-第2章-第1节-函数及其表示

第1页共11页第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示[考纲传真]1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A映射：f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法第2页共11页表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[常用结论]求函数定义域的依据(1)整式函数的定义域为R；(2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零；(4)对数函数的真数必须大于零；(5)正切函数y＝tanx的定义域为xx≠kπ＋π2，k∈Z；(6)x0中x≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．()(2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．()(3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．()(4)分段函数是两个或多个函数．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数y＝2x－3＋1x－3的定义域为()A.32，＋∞B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C.32，3∪(3，＋∞)D．(3，＋∞)第3页共11页C[由题意知2x－3≥0，x－3≠0，解得x≥32且x≠3.]3．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x＞1，则f(f(3))等于()A.15B．3C.23D.139D[f(3)＝23，f(f(3))＝f23＝232＋1＝139，故选D.]4．下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是()A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1C．y＝x2x＋1D．y＝x2＋1B[y＝3x3＋1＝x＋1，且函数定义域为R，故选B.]5．已知函数f(x)＝2x＋1，若f(a)＝5，则实数a的值为________．12[由f(a)＝5得2a＋1＝5，解得a＝12.]求函数的定义域【例1】(1)(2019·黄山模拟)函数y＝－x2－x＋2lnx的定义域为()A．(－2,1)B．[－2,1]C．(0,1)D．(0,1](2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝f2xx－1的定义域是________．(3)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．(1)C(2)[0,1)(3)[－1,2][(1)由题意得－x2－x＋2≥0lnx≠0x＞0，解得0＜x＜1，故选C.第4页共11页(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x1，即g(x)的定义域为[0,1)．(3)由函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]得－1≤x2－1≤2，即函数y＝f(x)的定义域为[－1,2]．][规律方法]常见函数定义域的类型及求解策略1已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解.2实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解.3抽象函数：①若已知函数fx的定义域为[a，b]，其复合函数fgx的定义域由不等式a≤gx≤b求出；②若已知函数fgx的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx在x∈[a，b]时的值域；③已知f[φx]定义域为[m，n]，求f[hx]定义域，先求φx值域[a，b]，令a≤hx≤b，解出x即可.易错警示：求定义域时，对解析式不要化简，求出定义域后一定要将其写成集合或区间形式.(1)函数f(x)＝3x21－x＋lg(3x＋1)的定义域是()A.－13，1B.－13，＋∞C.－13，13D.－∞，－13(2)已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________．(1)A(2)12，2[(1)由题意可知1－x＞0，3x＋1＞0，解得x＜1，x＞－13，∴－13＜x＜1，故选A.(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，∴12≤2x≤2，即f(x)的定义域为12，2.]第5页共11页求函数的解析式【例2】(1)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________.(2)已知f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________.(3)已知f(x)＋2f1x＝x(x≠0)，则f(x)＝________.(1)12x2－32x＋2(2)x2－5x＋9(3)23x－x3[(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴2a＝1，a＋b＝－1，即a＝12，b＝－32，∴f(x)＝12x2－32x＋2.(2)法一(配凑法)f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，∴f(x)＝x2－5x＋9.法二(换元法)令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝t－12，所以f(t)＝4t－122－6×t－12＋5＝t2－5t＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9.(3)∵f(x)＋2f1x＝x，∴f1x＋2f(x)＝1x.联立方程组fx＋2f1x＝x，f1x＋2fx＝1x，第6页共11页解得f(x)＝23x－x3(x≠0)．][规律方法]求函数解析式的常用方法1待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；2换元法：已知复合函数fgx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；3消去法：已知关于fx与或f－x的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出fx；4配凑法：由已知条件fgx＝Fx，可将Fx改写成关于gx的表达式，然后以x替代gx，即得fx的表达式.(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)＝________.(2)已知f(x)是一次函数，且2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，则f(x)＝________.(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)＝________.(1)x2－1(x≥1)(2)2x＋23(3)2x＋1－2－x3[(1)(换元法)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(配凑法)f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，又x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由2f(x－1)＋f(x＋1)＝6x，得2[k(x－1)＋b]＋k(x＋1)＋b＝6x，即3kx－k＋3b＝6x，∴3k＝6，－k＋3b＝0，∴k＝2，b＝23，即f(x)＝2x＋23.(3)由f(－x)＋2f(x)＝2x①，得f(x)＋2f(－x)＝2－x②，①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x.第7页共11页即f(x)＝2x＋1－2－x3.∴f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1－2－x3.]分段函数►考法1求分段函数的函数值【例3】(1)若f(x)＝13x，x≤0log3x，x＞0，则ff19＝()A．－2B．－3C．9D．－9(2)已知函数f(x)＝2cosπx，x＜0fx－1＋1，x＞0，则f43的值为()A．－1B．1C.32D.52(1)C(2)B[(1)f19＝log319＝－2，则ff19＝f(－2)＝13－2＝9.(2)f43＝f13＋1＝f－23＋1＋1＝2cos－23π＋2＝2×－12＋2＝1，故选B.]►考法2求参数或自变量的值【例4】(1)已知f(x)＝2x－2，x≥0－x2＋3，x＜0，若f(a)＝2，则实数a的值为()A．2B．－1或2C．±1或2D．1或2(2)设函数f(x)＝3x－b，x＜12x，x≥1，若ff56＝4，则b＝()A．1B.78C.34D.12(1)B(2)D[(1)由f(a)＝2得a≥0，2a－2＝2，或a＜0，－a2＋3＝2，解得a＝2或a＝－1，故选B.第8页共11页(2)ff56＝f3×56－b＝f52－b.当52－b＜1，即b＞32时，3×52－b－b＝4，解得b＝78(舍去)．当52－b≥1，即b≤32时，252－b＝4，解得b＝12.故选D.]►考法3解与分段函数有关的方程或不等式【例5】(1)(2019·青岛模拟)设f(x)＝x，0＜x＜1，2x－1，x≥1.若f(a)＝f(a＋1)，则f1a＝()A．2B．4C．6D．8(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x＞0，则满足f(x)＋fx－12＞1的x的取值范围是________．(1)C(2)－14，＋∞[(1)法一：当0＜a＜1时，a＋1＞1，∴f(a)＝a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a＋1)得a＝2a，∴a＝14.此时f1a＝f(4)＝2×(4－1)＝6.当a≥1时，a＋1＞1，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a.由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2a，无解．综上，f1a＝6，故选C.法二：∵当0＜x＜1时，f(x)＝x，为增函数，当x≥1时，f(x)＝2(x－1)，为增函数，又f(a)＝f(a＋1)，∴a＝2(a＋1－1)，∴a＝14.第9页共11页∴f1a＝f(4)＝6.(2)当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋121，解得x－14，∴－14x≤0.当0x≤12时，原不等式为2x＋x＋121，显然成立．当x12时，原不等式为2x＋2x－121，显然成立．综上可知，x的取值范围是－14，＋∞.][规律方法]1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变