数学基础知识与典型例题(必修4)

1数学基础知识与典型例题三角函数角的概念1.①与终边相同的角的集合：__________________________②第一象限角的集合：_____________________________2.角度与弧度的互换关系：______________________3.弧长公式：____________扇形面积公式：_____________例1.已知为第三象限角，则2所在的象限是()(A)第一或第二象限(B)第二或第三象限(C)第一或第三象限(D)第二或第四象限三角函数的定义1.三角函数定义:在角终边上任取一点(,)Pxy（与原点不重合），记22yxr，则sin____,cos____,tan____2.各象限角的三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦sincostan1.同角三角函数基本关系:_________________________________2.诱导公式:公式（一）公式（二）)2sin(xk_______;)sin(x_________;)2cos(xk_______;)cos(x________;)2tan(xk_______;)tan(x_________;公式（三）公式（四）)sin(x_________;)sin(x_________;)cos(x_________;)cos(x_________;)tan(x_________;)tan(x_________;例2.已知角的终边经过点)3,4(P,求cossin2的值.例3.若是第三象限角,且coscos22,则2是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角例4.若cos0,sin20,且则角的终边所在象限是（）(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限例5.化简：①440sin12②)25sin()4tan()tan()23cos()sin(③sin3cos例6.已知点P(cos,sin)在直线20xy上，试求下列各三角函数式的值:2三角函数公式公式（五）公式（六）)23sin(x_________:)23sin(x_________:)23cos(x_________:)23cos(x_________:公式（七）公式（八）)2sin(x_________:)2sin(x________:)2cos(x________;)2cos(x________;3.两角和与差公式:)sin(_______________________________;)cos(_______________________________;)tan(_______________________________;4.二倍角公式：2sin________________;2tan_____________;2cos_________________________________________;降幂公式：2sin____________2cos__________注:⑴变形公式：xxx2sin21cossin；tan()(1tantan)tantan,⑵三角函数恒等变形的基本策略:①常值代换：特别是用“1”的代换，22cossin1=45tan②角的配凑:用已知角表示未知角2()()、2()()、22、22、()、30)30(等③降次与升次。即倍角公式升次与降幂公式降次。④切化弦。⑤辅助角公式：)sin(cossin22xbaxbxa（1）tan(2)223sin4cos.例7.设)2,0(,若,53sin则)4cos(2（）(A)57(B)51(C)27(D)4例8.223sin163sin+313sin253sin()1()2A1()2B3()2C3()2D例9.已知tan，tan是方程23340xx两根，且，)2,2(，则等于()(A)32(B)32或3(C)3或32(D)3例10.求下列各式的值：①75tan175tan1②tan17+tan28+tan17tan28例11.已知锐角,满足cos=53,cos(+)=135,求cos.3三角函数的图像和性质1.三角函数的性质：函数xysinxycosxytan一个周期内的图像定义域值域最小正周期最值当且仅当x=_____________函数取最大值1；当且仅当x=______________函数取最小值-1；当且仅当x=_____________函数取最大值1；当且仅当x=_____________函数取最小值-1；无单调性增区间：减区间：增区间：减区间：增区间：减区间：奇偶性对称轴方程对称中心2.函数KxAy)sin(的性质：函数KxAy)sin(），（其中00A的最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；3.函数)0,0,0,0()sin(kAkxAy的图象的作法：⑴五点作图法，列表取点如下：x02232xy⑵由函数xysin的图像变换得到函数kxAy)sin(（0,0A,）图像：①由函数xysin的图像____________________得函数xysin的图像__________________得函数)sin(xy的图像___________________得函数)sin(xAy的图像_________________得函数kxAy)sin(的图像。三角函数4三角函数②由函数xysin的图像____________________得函数)sin(xy的图像______________得函数)sin(xy的图像__________________得函数)sin(xAy的图像_____________________得函数kxAy)sin(的图像。注：⑴以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象．．．．．．．．．．.⑵函数sin()yAx的图像和性质以函数sinyx为基础,通过图像变换来把握.如sinyx图像变化为sin()yAx(A0,0)相应地，函数xysin的单调增区间2,222kk变为2222kxk≤≤的解集是函数sin()yAx的增区间.例12.下列函数中，最小正周期为2的是（）A．)32sin(xyB．)32tan(xyC．)62cos(xyD．)64tan(xy例13.将函数xy4sin的图象向左平移12个单位，得到)4sin(xy的图象，则等于（）A．12B．3C．3D．12例14.函数22cos()()363yxx≤≤的最小值是（）()2A()3B()1C()1D例15.若函数)sin()(xxf的图象（部分）如图所示，则和的取值是()(A)3,1(B)3,1(C)6,21(D)6,21例16.已知函数xxxxxfcossinsin21cos2122⑴求xf的最小正周期；⑵求xf的单调递增区间。5平面向量1.向量的有关概念（1）向量:既有_____又有____的量.向量的_______叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).（2）理解零向量、相等向量、单位向量、共线向量、相反向量的概念。注：①向量不能比较大小，向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等,记为ab②共线向量又称为平行向量。规定:0与任一向量共线.0与任一向量垂直。2.向量的运算运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法OA+OB=_____OBOA=_____记OA=(x1,y1),OB=(x1,y2)则OAOB=_____________OBOA=_______________OA+AB=______实数与向量的乘积AB=λa，λ∈R记a=(x,y)，则λa=______________两个向量的数量积ba_________记1122(,),(,)axybxy则a·b=________________注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(a±b)2=222aabb，但要注意两个向量的数量积不满足结合律，即)()(cbacba3.运算性质及重要结论：⑴平面向量基本定理:如果12,ee是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a,有且只有一对实数12,,使1122aee。①其中12,ee叫做表示这一平面内所有向量的__________;②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,ee的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果1122aee且''1122aee,那么_____________.⑵向量坐标与点坐标的关系：①当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若),(yxA，则OA=_______________②当向量起点不在原点时，若),(11yxA),(22yxB，则AB=_______________________③中点坐标公式：已知),(),,(2211yxByxA，则AB的中点坐标为__________________三角形的重心坐标公式：ABC三个顶点的坐标分别为),(),,(),,(332211yxCyxByxA,则ABC的重心的坐标是_______________________⑶设非零向量),(),,(2211yxbyxa，则ba//_______________________________⑷设非零向量1122,,,abxyxy，则ba_________________________________6⑸两个向量数量积的重要性质：①___________________________(求线段的长度);②____________________________________(求角度)。注:①____________叫做向量b在a方向上的投影。数量积的几何意义是数量积ba等于a的模与b在a方向上的投影的积.②若a=(x,y)，则a=____________;如果111(,)Pxy,222(,)Pxy,则12PP=2121(,)xxyy,∴________________________________,这就是平面内两点间的距离公式.练习：1.河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10m/sB．226m/sC．46m/sD．12m/s2.已知AM是ABC的BC边上的中线，若AB=a,AC=b，则AM等于（）A.21(a-b)B.21(b-a)C.21(a+b)D.12(a+b)3.已知平面向量(3,1)a，(,3)bx，且ab，则x（）A．3B．1C．1D．34.已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是()A．6B．－6C．9D．125.已知向量)2,3(a,)0,1(