构造置信区间估计的一般方法

第三章估计理论Page58of79[]⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===−−．，，，若不然若00)()()(dd)(11)()(θθxnxxfxFnxFxxfnnnnn所以1()()0()1nnnnnxnEXxfxdxxdxnθθθ∞−−∞===+∫∫．这样，)(ˆnX=θ是θ的有偏估计量．显然，θ的无偏估计量为)(1nXnn+．(2)求端点θ的0.95置信区间．选统计量()θnXT=（枢轴量，其分布与参数θ无关）．利用)(nX的分布函数)()(xFn，确定两个常数1λ和2λ，使之满足下列关系式：{}{}{}{}{}{}1()1()1112()2()2222()2()()12()221()1222{}1122nnnnnnnnnnnnnPTPXFPTPXFPTPXXXPPTααλλθλθλλααλλθλθλλαλλθθλλααα=≤=≤===−=====−=≥=≥⎧⎫⎪⎪==−⎨⎬−⎪⎪⎩⎭，；，，；．从而，端点θ的α−1置信区间为()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−nnnnXX2,21αα．3.5.8构造置信区间估计的一般方法设总体X的分布函数为(,)Fxθ，θ∈Θ，12,,,nXXX…是来自总体X的样本，寻找参数θ的置信区间的一般方法是：1）选取θ的一个点估计量()12ˆ,,,nXXXθθ=…，一般首先考虑θ的极大似然估计，或θ的充分统计量；2）求出估计量ˆθ的分布函数(,)Gtθ；3）利用分布函数(,)Gtθ关于θ的单调性来构造置信区间。第三章估计理论Page59of79引理设()Fx是随机变量X的分布函数，若01y≤≤，则有{}{}()(0)PFXyyPFXy≤≤≤−证明：对01y，记{}0sup:()xxFxy=≤则对0ε∀，有00()()FxyFxεε−≤≤+，令0ε→+，得00(0)()FxyFx−≤≤当0()Fxy=，由0x的定义知：{}{}0:()xxxFxy≤⊃≤，从而{}{}00()()PFXyPXxFxy≤≤≤==当0()Fxy时，{}{}00()()PFXyPXxFxy≤≤≤=，这就证明了不等式：{}()PFXyy≤≤（不等式：{}()PFXyy≤≤另证明：1）设集合{}:()xFxy=非空，并且该集合的上确界可以达到，即{}{}0sup:():()xxFxyxFxy==∈=则有{}{}00()()PFXyPXxFxy≤=≤==2）设集合{}:()xFxy=为空集，或集合{}:()xFxy=非空，但并且该集合的上确界不能达到，则函数()Fx存在这样一点x，使得(0)()FxyFx−≤，则有{}{}{}()()()(0)PFXyPFXFxPXxFxy≤≤==−≤这就证明了不等式：{}()PFXyy≤≤）第三章估计理论Page60of79下面我们来证明不等式{}(0)PFXyy−≥。令ZX=−，并设Z的分布函数为()ZFz，由已有的结果，有{}()11ZPFZyy≤−≤−由于{}{}()1(0)ZFzPZzPXzFz=≤=≥−=−−−所以{}{}{}1()1(0)1(0)ZyPFZyPFZyPFXy−≥≤−=−−≥=−−从而，有{}(0)PFXyy−≥推论：若随机变量X的分布函数()Fx为连续函数，则()~(0,1)YFXU=。对给定的(0,1)α∈，要构造θ的置信水平为1α−的置信区间，我们从统计量12(,,,)nTXXX…出发，并基于12(,,,)nTXXX…寻找枢轴量，然后构造θ的置信区间。设12(,,,)nTXXX…的分布函数为{}12(,)(,,,)nGtPTXXXtθθ=≤…则有引理可知：{}{}1212((,,,),)((,,,)0,)nnPGTXXXyyPGTXXXyθθθ≤≤≤−……01,yθ≤≤∀∈Θ定理3.17（1）若(,)Gtθ是θ的严格递减函数，则对(0,1)α∈{}12sup:((,,,)0,)1nGTXXXθθθθα∈Θ=−≥−…{}12inf:((,,,),)nGTXXXθθθθα∈Θ=≤…分别是θ的置信水平为1α−的（单侧）置信下限和置信水平为1α−的（单侧）置信上限。而对(0,1)α∈，θ的置信水平为1α−的置信区间为,θθ⎡⎤⎣⎦，其中第三章估计理论Page61of79{}{}121122sup:((,,,)0,)1inf:((,,,),)nnGTXXXGTXXXθθθθθαθθθα∈Θ∈Θ⎧=−≥−⎪⎨=≤⎪⎩……其中12ααα+=，且120,1αα。（2）若(,)Gtθ是θ的连续严格递减函数，则对(0,1)α∈，θ的置信水平为1α−的（单侧）置信下限θ为12((,,,)0,)1nGTXXXθα−=−…的解；θ的置信水平为1α−的（单侧）置信上限θ为12((,,,),)nGTXXXθα=…的解；而θ的置信水平为1α−的置信区间为,θθ⎡⎤⎣⎦，其中,θθ分别为121((,,,)0,)1nGTXXXθα−=−…，122((,,,),)nGTXXXθα=…且满足12ααα+=和120,1αα的解。证：（1）因为(,)Gtθ是θ的严格递减函数，则当12((,,,)0,)1nGTXXXθα−−…时，必有θθ≥，由引理知{}{}12((,,,)0,)11nPPGTXXXθθθθθαα≥≥−−≥−…即θ是θ的置信水平为1α−的（单侧）置信下限；同样地，当12((,,,),)nGTXXXθα…时，必有θθ，由引理{}{}{}1212((,,,),)1((,,,),)1nnPPGTXXXPGTXXXθθθθθθαθαα≤≥=−≤≥−……即θ是θ的置信水平为1α−的（单侧）置信上限；第三章估计理论Page62of79{}{}{}1211PPPθθθθθθθθθθααα≤≤=≥−≥−−=−即θ的置信水平为1α−的置信区间为,θθ⎡⎤⎣⎦。（2）注意到：当(,)Gtθ是θ的连续严格递减函数时，则对(0,1)α∈，θ为12((,,,)0,)1nGTXXXθα−=−…的解；θ为12((,,,),)nGTXXXθα=…定理3.18（1）若(,)Gtθ是θ的严格递增函数，则对(0,1)α∈{}12inf:((,,,),)nGTXXXθθθα=≤…{}12sup:((,,,)0,)1nGTXXXθθθθα∈Θ=−≤−…分别是θ的置信水平为1α−的（单侧）置信下限和置信水平为1α−的（单侧）置信上限。而对(0,1)α∈，θ的置信水平为1α−的置信区间为,θθ⎡⎤⎣⎦，其中{}{}121122inf:((,,,),)sup:((,,,)0,)1nnGTXXXGTXXXθθθθθαθθθα∈Θ∈Θ⎧=≤⎪⎨=−≥−⎪⎩……其中12ααα+=，且120,1αα。（2）若(,)Gtθ是θ的连续严格递增函数，则对(0,1)α∈，θ的置信水平为1α−的（单侧）置信下限θ为12((,,,),)nGTXXXθα=…的解；θ的置信水平为1α−的（单侧）置信上限θ为12((,,,)0,)1nGTXXXθα−=−…的解；而θ的置信水平为1α−的置信区间为,θθ⎡⎤⎣⎦，其中,θθ分别为第三章估计理论Page63of79121((,,,),)nGTXXXθα=…，122((,,,)0,)1nGTXXXθα−=−…且满足12ααα+=和120,1αα的解。证因为(,)Gtθ是θ的连续严格递增函数，则(,)Gtθ是θ−的连续严格递减函数，由定理3.17可以得到θ−的（单侧）置信下限、上限与置信区间，从而证得定理。例3.39设总体~(1,)(01)Xbpp≤≤，12,,,nXXX…为来自总体X的样本，试求参数p的置信水平为1α−的置信区间。解参数p的充分统计量为1niiTX==∑，我们基于T构造参数p的置信区间。T的分布函数为{}[]()0(,)1tniipinGtpPTtppi−=⎛⎞=≤=−⎜⎟⎝⎠∑由于()110(1)1(1)(1)()kniiknkipnnppuuduiknk−−−=⎛⎞Γ+−=−⎜⎟Γ+Γ−⎝⎠∑∫由此可见，T的分布函数(,)Gtp关于p是连续严格递减函数。1niiTX==∑为非负整数，设为k。由定理3.17，当0k时，参数p的置信水平为1α−的（单侧）置信下限p为方程1(0,)1niiGXpα=−=−∑即()1011kniiinppiα−−=⎛⎞−=−⎜⎟⎝⎠∑的解，也即1110(1)(1)()(1)pknknuuduknkα−−+−Γ+−=ΓΓ−+∫的解。记(,,)xabβ表示(,)abβ分布的分布函数，则上式简化为第三章估计理论Page64of79(;,1)pknkβα−+=由结论：1）若~(,)Xabβ，则~(,)1XYZabX=−；2）若~(,)ZZab，则~(2,2)bFFaba=。于是我们有：若~(,)Xabβ，则~(2,2)1XbFFabXa=−。从而方程(;,1)pknkβα−+=等价变换为：()1;2,211pnkFknkpkα⎛⎞−+−+=⎜⎟−⎝⎠其中(;,)Fxmn表示(,)Fmn分布的分布函数，令122(1),2vnkvk=−+=，上式变为1212;,1vpFvvpvα⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，因此，参数p的置信水平为1α−的（单侧）置信下限p为方程()()11212121,1,vpFvvpvFvvαα−==−的解。解此方程得：22112(,)vpvvFvvα=+当0k=时，取0p=。当kn时，参数p的置信水平为1α−的（单侧）置信上限p为方程()10(,)1nkniiiiinGXpppiα−==⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠∑∑的解。即10(1)(1)1(1)()pknknuuduknkα−−Γ+−=−Γ+Γ−∫的解。按照上面相同的方法，122(),2(1)vnkvk′′=−=+，可知p满足方程：第三章估计理论Page65of79()1212,1vpFvvpvα′′′=′−于是，参数p的置信水平为1α−的（单侧）置信上限p为22211221112/(,)(,)vvpvvFvvvvFvvαα−′′==′′′′′′′′++当kn=时，取1p=。综上可知，参数p的置信水平为1α−的置信区间为,pp⎡⎤⎣⎦，其中当0kn时，122112(,)vpvvFvvα=+，2222211221112/(,)(,)vvpvvFvvvvFvvαα−′′==′′′′′′′′++且满足12ααα+=和120,1αα，常取122ααα==。当0k=时，取1011(2,2)ppnFnα−=⎧⎪⎨=⎪+⎩，当kn=时，取(2,2)1npnFnpα⎧=⎪+⎨⎪=⎩例3.40设总体~()(0)XPλλ，12,,,nXXX…为来自总体X的样本，试求参数λ的置信水平为1α−的置信区间。解参数λ的充分统计量为1niiTX==∑，我们基于T构造参数λ的置信区间。T的分布函数为{}()[]0(,)!itninGtPTteiλλλλ−==≤=∑由于()()110!1!ikknknuinneueduikλλλ+∞−−−−==−∑∫由此可见，T的分布函数(,)Gtλ关于λ是连续严格递减函数。1niiTX==∑为非负整数，设为k。由定理3.17，当0k时，参数λ的置信水平为1α−的（单侧）置信下限λ为方程第三章估计理论Page66of791(0,)1niiGXλα=−=−∑即()101!iknineiλλα−−==−∑的解，也即()101!kknunuedukλα−−=−∫的解。记(,,)xabΓ表示(,)abΓ分布的分布函数，则上式简化为(;,)knλαΓ=由结论：1）若~(,)XabΓ，则~(,)XYacbc=Γ；2）1(,)22nΓ分布即为2()nχ分布。于是我们有：若~(,)XknΓ，则22~(2)YnXkχ=。从而方程(;,)knλαΓ=等价变换为：()22;2nkχλα=因此，参数λ的置信水平为1α−的（单侧）置信下限为21(2)2knαχλ−=参数λ的置信水平为1α−的（单侧）置信上限λ为方程()10(,)!inkniiinGXeiλλλα−====∑∑的解，也即11101!kknunuedukλα++−−=−∫按照上面相同的方法，可得()()22;211nk