第二章-随机变量及其函数的概率分布

第二章随机变量及其函数的概率分布§2.1随机变量与分布函数§2.2离散型随机变量及其概率分布一、填空题1.某射手每次命中目标的概率为0.8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为k的概率)(kXP3,2,1,0,)2.0()8.0(33kCkkk；2.设随机变量X服从泊松分布，且)2()1(XPXP，则)4(XP0.0902；3.设X服从参数为p的两点分布，则X的分布函数为1,110,10,0)(xxpxxF；4.已知随机变量X的概率分布：P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,则其分布函数)(xF=010.2120.52313xxxx，，，，；5.设随机变量X的分布函数为3,131,8.011,4.01,0)xxxxxF（,则X的概率分布为(1)0.4,(1)0.4,(3)0.2PXPXPX。二、选择题设离散型随机变量X的分布律为则且,0),,2,1()(bkbkXPk为（B）(A)λ0的任意实数;(B)；11b(C)λ=b+1;(D)11b.三、计算下列各题1.袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X表示取出5个球的最大号码，试求X的分布列。解X的可能取值为5，6，7，8，9，10且10,9,8,7,6,5,)(51041kCCkXPk所以X的分布列为1X5678910P25212525845365185212.一批元件的正品率为43，次品率为41，现对这批元件进行有放回的测试，设第X次首次测到正品，试求X的分布列。解X的取值为1，2，3，…且,3,2,1,434341)(k1kkXPk.此即为X的分布列。3.袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X为取出的球的号码，试求X的分布列及分布函数。解X的分布列为X123P612131由分布函数的计算公式得X的分布函数为3,132,3221,611,0)(xxxxxF4.设随机变量X的分布律为5,4,3,2,115)(kkkXP。求).3()3(),31()2(),2521()1(XPxPXP解,51152151)2()1()2521()1(XPXPXP.53155154)5()4()3()3(,52153152151)3()2()1()31()2(XPXPXPXPXPXPxP5.（1）设随机变量X的分布律为0;,2,1!)(kkakXPk为常数，试确定a。（2）设随机变量Y只取正整数值N，且)(NYP与2N成反比，求Y的分布律。解（1）因为1,1)(kkXP及0,1!1ekkk，所以.11ea（2）令;,2,1N)(2NkaNYP类似上题可得26k。2所以Y的分布律为,2,1,6)(22NNNYP6.汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X的概率分布解X=0,1,2,3,iA=“汽车在第i个路口遇到红灯.”，i=1，2，3.)()0(1APXP=21,)1(XP=4121221）（AAP)2(XP81213321）（AAAP，)3(XP=81213321）（AAAP为所求概率分布7.同时掷两枚骰子,直到一枚骰子出现6点为止,试求抛掷次数X的概率分布律.,2,1,3611)36111()()(,,2,1,3611)(,61121kAAAAPkXPXiAPiAkkkii的概率分布为所以点次出现第设解四、证明题，是两个常数，且都是分布函数，又和设1,0,0)()(21babaxFxF试证明：.)()()(21也是分布函数xbFxaFxF1112220)1,0)10))1;0)1,0)FxaFxaaFxbFxabFxbFxb（（解（）因为（（（（111212212211121221221212))(2),))()))))(),().3lim()lim))lim)lim)1xxxxaFxaFxxxbFxbFxFxaFxbFxaFxbFxFxFxFxaFxbFxaFxbFxab（（有（（（（（（所以是不减函数（）（（（（1212lim()lim))lim)lim)000xxxxFxaFxbFxaFxbFxab（（（（.)()()()()()0()0()0()4(2121是分布函数质，所以满足分布函数的四个性由于xFxFxFxbFxaFxbFxaFxFX0123P1/21/41/81/83§2.3连续型随机变量及其概率密度函数一、填空题1.已知连续型随机变量X的分布函数为0,00,)(2xxBeAxFx，则A1，B1，)221(xP41ee，)(xf0,00,22xxex；2.设随机变量X的概率密度函数其它,0]2,0[,)(xAxxf,则A0.5,)(xF=2,120,40,02xxxx；)21|(|xP116；3.设X服从参数为的指数分布，则X的概率密度为11,0()0,0xexfxx；4.设随机变量X的概率密度为其它若若,0]6,3[,9/2]1,0[,3/1)(xxxf，若k使得32)(kXP,则k的取值范围是13k；5.若随机变量在(1,6)上均匀分布,则方程012XX有实根的概率为0.8；6.若随机变量X~),2(2N,且P(2X4)=0.3,则P(X0)=0.2；7.设随机变量X服从泊松分布,已知P(X=1)=P(X=2),则概率P(X=4)=223e；8.设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p),若95)1(XP,则)1(YP=19/27。二、选择题1.设函数其它,0],[,sin)(baxxxf,问区间)(,],[xfba为下列哪一个区间时才可能是某个随机变量的概率密度函数?（A）).2,0()(];,0[)(];22[]20[DCBA，）（；，）（42.如下四个函数哪个不能成为随机变量X的分布函数（B）120,00,01/3,01;()();ln1/2,12,01,2xxxAFxBFxxxxxx（）（）2330,01,0()()/4,02;()().0,01,2xxexCFxxxDFxxx3.设随机变量X~），2,(N则随的增大,概率)|(|XP（C）(A)单调增大;(B)单调减少;(C)保持不变;(D)增减不变.4.设随机变量X的密度函数为XxFxfxfxf是且)(),()(),(的分布函数,则对任意实数a有（B）.1)(2)()(;)()()(;)(21)()(;)(1)(00aFaFDaFaFCdxxfaFBdxxfaFAaa）（5.设随机变量X服从正态分布YN),,(211服从正态分布),,(222N且}1{}1{21YPXP，则必有（A）（A）12;（B）12;（C）12;（D）.21三、计算下列各题1.设连续型随机变量X的密度函数为其它,021,210,)(xxxxxf；求X的分布函数。解xdxxfxF)()(，2,121,12210,20,0)(22xxxxxxxxF2.设随机变量X的分布函数为0,00,)1(1)(xxexxFx；求XXP)2();1()1(的密度函数。解;2)21(1)1()()1()1(11eeFFXP50,00,)()()2(xxxexFxfx3.设连续型随机变量X的密度函数为其它,010,4)(3xxxf；（1）求常数a，使)()(aXPaXP；（2）求常数b，使05.0)(bXP。解（1）因为)()(aXPaXP，所以),()(1aXPaXP故440321,214)(aadxxaXPa所以。（2）因为,2019)(,05.0)(1,05.0)(4bbXPbXPbXP4419,0.950.987220bb所以即4.在半径为R，球心为O的球内任取一点P，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。解当Rx0时，设xOP，则点P落到以O为球心，x为半径的球面上时，它到O点的距离均为x，因此3333434)(RxRxVVxXPOROP，所以，X的分布函数为30,0(),01,xxFxxRRxRX的密度函数为RxxRxRxxFxf,0,00,3)()(325.设随机变量X的分布函数为xBAxFarctan)(,–∞x+∞,试求(1)系数A与B,(2)P(–1x1),(3)X的概率密度函数.解,12112021)(0)(1BABABAFF）（xxxFxfFFxP,)1(1)()()3(,21))1arctan(121()1arctan121()1()1()11()2(26.设随机变量X的概率密度为其它，）（,0102xxxf,以Y表示对X进行三次独立观6察中{X≤21}出现的次数,求概率P(Y=2).解p=P(X≤21)=41221021xdxdxxf）（,由已知Y~B(3,41)所以64943412223）（）（CYP7.从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从)100,50(N；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从)16,60(N，问（1）要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？（2）要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？解（1）因为.9938.0)46070()70(,9772.0)105070()70(21XPXP所以走第二条。（2）类似的走第一条。§2.4随机变量函数的分布一、填空题1.设),(~2NX则XY服从的分布为)1,0(~NY；2.设),(~2NX则YaXb服从的分布为),(22abaN；3.设)1,0(~NX，则2XY的概率密度函数是0,210,0)(212yyeyxfyY；4.设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2XY在(0,4)内的概率密度）（yfY为其它，）（,04041yyyfY。二、选择题1.设随机变量X的分布函数为是的分布函数则随机变量)(12),(yGXYxF（A）111()()();()()(1);22211()()2()1;()()().22AGyFyBGyFyCGyFyDGyFy72.已知随机变量X的密度函数为2,012,11)(XYexxxf，则随机变量其它的密度函数为（C）.,0121)()(;,0)1(4)1(21)()(;,01221)()(;,0)1(4)1(1)(222