第三章-多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布§3.1二维随机变量的概率分布一、填空题1.设（YX,）的分布函数为其它，，，），（0003331yxyxFyxyx，则（YX,）的联合概率密度),(yxf=其它，，，0003ln322yxyxFyx；2设随机变量(YX,)的分布函数为)3(2(yarctgCxarctgBAyxF）），（,则A=2/1,B=2/,C=2/，(0A)；3.用),(YX的联合分布函数),(yxF表示概率),(cYbXaP=),(),(caFcbF；4.设),(YX在区域G上服从均匀分布，G为yx及2yx所围成的区域，),(YX的概率密度为26,(01,);(,)0,xxyxfxy其它.5.设(YX,)联合密度为其它，），（,00,0yxAeyxfyx，则系数A=1；6.设二维随机变量(YX,)的联合概率密度为4,01,01,0,xyxyfxy其它，则PXY0；7.设二维随机变量(,)XY的概率密度为22,1,,0,.cxyxyfxy其它，则c=21/4。二、选择题1．考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用X表示抛掷硬币出现正面的次数，Y表示抛掷骰子出现的点数，则(,)XY所有可能取的值为(A)（A）12对；（B）6对；（C）8对；（D）4对.2．设二维随机向量（X，Y）的概率密度为1,01,01,(,)0,xyfxy其它，则概率(0.5,0.6)PXY(B)（A）0.5；（B）0.3；（C）0.875；（D）0.4.3.设）（）与（xFxF21分别为随机变量1X和2X的分布函数,为使）（）（xbFxaFxF21)(是某一随机变量X的分布函数,在下列给定的各组数值中应取（A）32221313();(B);(C);(D).55332222Aabababab，，，，4.设随机变量iX的分布律为iX101P141214(12)i，,满足)(,1)0(2121XXPXXP则(A)(A)0;(B)1/4;(C)1/2;(D)1.5.如下四个二元函数中哪个可以作为连续型随机变量的联合概率密度函数（B）（A）cos,,01,,220xxyfxy其它（B）1cos,,0,,2220xxyfxy其它（C）cos,0,01,,0xxyfxy其它（D）1cos,0,0,,20xxyfxy其它6.设随机变量X与Y相互独立，它们的概率分布依次为X-11Y-11p1/21/2p1/21/2则下列各式正确的是（C）（A）X=Y；（B）P{X=Y}=0;(C)P{X=Y}=1/2;(D)P{X=Y}=1.三、计算下列各题1.已知随机变量YX和的联合密度为其它，，，），（010104yxxyyxf,求YX和的联合分布函数),(yxF。解因为xydxdyyxfYXF),(,22001200(1)00(,)0,(,)0(2)0101,(,)4(3)1,01,(,)4xyyxyfxyFxyxyFxydxxydyxyxyFxydxxydyy或时，由得，时时1200(4)01,1,(,)4(5)1,1,(,)1xxyFxydxxydyxxyFxy时时1,1,11,10,10,1,1010,00,0),(2222yxyxxyxyyxyxyxyxF，或所以2.一个箱子装有12只开关，其中2只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以YX和分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出YX和的概率分布律。解.,.6610)0,1(,6645)0,0(1111121101211111219110CCCCYXPCCCCYXP661)1,1(,6610)1,0(111112111211111212110CCCCYXPCCCCYXP3.给定非负函数其它又设它满足,0,0,)(2),(,1)(),(22220yxyxyxgyxfdxxgxg,问),(yxf是否是随机变量YX和的联合概率密度?说明理由。解),(yxf是YX和的联合概率密度只要满足),(yxf≥0与(,)1fxydxdy,0),(,0)(,)(,0,,02222yxfyxgxgyxyx故所以非负由于1)(2)(2),(2002222rdrrrgddxdyyxyxgdxdyyxf所以),(yxf是随机变量YX和的联合概率密度。4.设随机变量(YX,)的联合密度为6,02,240,kxyxyfxy（，）其它，求：（1）系数k；（2）1,3PXY；（3）1.5PX；（4）4PXY。解：（1）42201(,)(6)81.8fxydxdydykxydxkk（2）3120131,3(6).88PXYdyxydx（3）41.5201271.5(6).832PXdyxydx（4）4PXY=4420121.5(6).83yPXdyxydx5.设随机变量(YX,)的联合密度为其它），（,01),1(2222yxyxayxf,求(1)系数a,(2)概率）（4122YXP。解.313)1(),()1(1020aardrraddxdyyxf210204122.21)1(3),()41()2(22rdrrddxdyyxfYXPYX6.袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，（1）求10PXZ；（2）求二维随机变量,XY的概率分布。解：（1）在没有取白球的情况下取了一次红球相当于只有1个红球，2个黑球有放回的取两次，其中摸到一个红球12113324109CPXZCC；（2）X，Y的取值范围为0,1,2，故113311661110,0,1,0,2,0,4636110,1,1,1,2,10,3910,2,1,20,2,20,9CCPXYPXYPXYCCPXYPXYPXYPXYPXYPXYXY01201/41/61/3611/31/9021/900§3.2边缘分布§3.3条件分布§3.4随机变量的独立性一、填空题1.设平面区域D由曲线2101exxyxy，，及直线所围成.），（YX在D上均匀分布，则），（YX关于X的边缘密度在2x处值为0.25；2.若），（YX的分布律为XY123121/61/31/91/18,应满足条件是31.若YX与相互独立则=2/9,=1/9；3.设随机变量X和Y相互独立，且X在区间0,2上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，则1PXY112e；4.设nXXX,,,21独立同分布，都服从),(2N，则（nXXX,,,21）的概率密度函数为,)2(),,,(122)(21221niixnnnexxxfnixi,,2,1,；5.设随机变量X与Y相互独立，(2,),~(3,)XBpYBp，且(1)5/9PX，则(2)PY727，(1)PXY80243；6.二维离散型随机变量相互独立的充分必要条件是{,}{}{}ijijPXxYyPXxPYy。二、选择题1.设两随机变量YX和独立同分布(1)(1)1/2,PXPY(1)PX(1)1/2PY,则下列各式成立的是（A）(A)2/1)(YXP;(B)1)(YXP;(C)4/1)0(YXP;(D)4/1)1(XYP.2．设二维随机变量(,)XY的联合分布为XY01011/4ab1/4并且已知事件0X与1XY相互独立，则a,b的值是（C）（A）a=1/6,b=1/3;(B)a=3/8,b=1/8;（C）a=1/4,b=1/4;(D)a=1/5,b=3/10.3.设二维随机变量,XY的联合概率密度为221/,1,0,xyfxy其它，则X,Y满足（C）（A）独立同分布;（B）独立不同分布；（C）不独立同分布；（D）不独立也不同分布.三、计算下列各题1.设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能取值，另一个随机变量Y在1~X中等可能取一个整数值，求（1）),(YX的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律。解：由题意,,1,2,3,4,,XiYjijij其中为整数，则由概率的乘法公式有111,,1,2,3,4,.44PXiYjPXiPYjXiijiii因此XY1234jp11/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/48ip1/41/41/41/412.设二维随机变量),(YX的概率密度为,,)9)(4(6),(222xyxyxfy（1）求关于YX和的边缘概率密度.（2）问YX与是否独立？2222222262(1)()(,),(4)(9)(4)63()(,),(4)(9)(9)(2)(,)()(),,XYXYfxfxydydyxxyxfyfxydxdxyxyyfxyfxfyXY解所以独立.3.设二维随机变量),(YX的概率密度为21,01,02,,30,.xxyxyfxy其它求：（1）关于X和关于Y的边缘密度函数，并判断X与Y是否相互独立？（2）1PXY。解：（1）222012,01201,330,0,Xxxydyxxxxfxfxydy，其它其它12011,0202,3630,0,Yyxxydxyyfyfxydx，其它其它由于(,)()(),.XYfxyfxfyXY所以和不独立（2）112001651,1.372xDPXYfxydxdydxxxydy4.设二维随机变量),(YX的概率密度为(),02,,(,)0,kxxyxxyxfxy其它（1）求常数k；（2）求关于YX和的边缘概率密度，（3）问YX与是否独立？解22200(1)(,)()()xxxxfxydxdykxxydxdykxkxydxdy116811/82kkk3311(2)()(,)()2,02,084xXxfxfxydykxxydyxxx其它为即3,02()40,Xxxfx其它232333,02111520,83448111102,83448115,203448111,0234480YyYyYyxxxyyfyxxydxyyyfyxxydxyyyyyfyyyy当时，当时，则，其