抛物线30条经典性质及其证明

抛物线的30条经典性质及证明已知抛物线22(0)ypxp，AB是抛物线的焦点弦，点C是AB的中点.AA’垂直准线于A’，BB’垂直准线于B’，CC’垂直准线于C’，CC’交抛物线于点M，准线交x轴于点K.求证：1.12||,||,22ppAFxBFx2.11()22CCABAABB；3.以AB为直径的圆与准线L相切；证明：CC’是梯形AA’BB’的中位线，||||||||||2||2ABAFBFAABBCCr4.90ACB；(由1可证)5.90AFB；,,||||,,1,2AAFKAFKFAAAFAAAAFAFAAFKAFK证明：同理：1,2BFKBFK得证.6.1CFAB2.证明：由90AFB得证.7.AC垂直平分AF；BC垂直平分BF；证明：由1CFAB2可知，1||||||,2CFABCA||||,.AFAA又得证同理可证另一个.8.AC平分AAF，BC平分BBF,A’F平分AFK，B’F平分BFK.证明：由AC垂直平分AF可证.9.CFAB；证明：122121(,)(,)2yyCFABpxxyy22222212211221()02222yyyyyypxx10.1cosPAF；1cosPBF；证明：作AH垂直x轴于点H，则||||||||||cos,||1cospAFAAKFFHpAFAF.同理可证另一个.11.112AFBFP;证明：由1cosPAF；1cosPBF；得证.12.点A处的切线为11()yypxx;证明：（方法一）设点A处切线方程为11()yykxx，与22ypx联立，得21122()0,kypypykx由2110220,xkykp解这个关于k的一元二次方程（它的差别式也恰为0）得：111,2ypkxy得证.证法二：（求导）22ypx两边对x求导得1122,,|,xxppyypyyyy得证.13.AC’是切线，切点为A；BC’是切线，切点为B；证明：易求得点A处的切线为11()yypxx，点B处的切线为22()yypxx，解得两切线的交点为12(,)22yypC,得证.14.过抛物线准线上任一点P作抛物线的切线，则过两切点Q1、Q2的弦必过焦点;并且12.PQPQ证明：设点(,)()2pPttR为准线上任一点，过点P作抛物线的切线，切点为2(,)2yQyp,22ypx两边对x求导得22222,,,20,22PQppytyypyKytypyyypp显然22440,tp切点有两个，设为2221211221212(,),(,),2,,22yyQyQyyytyyppp则1212122222221212222222FQFQyypypykkyyypyppppp1222121211221222220,pypyppyyyyyyyyyy所以Q1Q2过焦点.22222222121212121212122(,)(,)()2222444yyyyyypppPQPQytytyytyytppp22222222222121212()2420,242424yyyyyyppptpttt12.PQPQ15.A、O、B三点共线；B、O、A三点共线；证明：A、O、B三点共线2211212112.222OAOByppkkxyyyyyypp同理可证：B、O、A三点共线.16.122yyp；1224pxx证明：设AB的方程为()2pykx，与22ypx联立，得2220,kypykp212122,,pyyyypk224212122.2244yyppxxppp17.1222sinpABxxp证明：1212,22ppABAFFBxxxxp22212122222111||1()41()421pAByyyyppkkkk22221cot.sinpp得证.18.22sinAOBpS；证明：222121221()4()4224AOBOFAOFBpppSSSyyyypk222221()11cot222sinpppk.19.322AOBSpAB（定值）；证明：由22sinpAB、22sinAOBpS得证.20．22sinABCpS证明：22122111||||21()222ABCyySABPFppk2222222111()(1)sinpppppkkk21.2ABp；证明：由22sinpAB得证.22.122ABpkyy；证明：由点差法得证.23.121222tanPPyyxx;证明：作AA2垂直x轴于点A2,在2AAF中，2121tan,2AAyFApx同理可证另一个.24.2AB4AFBF;证明：2212124||4()()22ppABAFBFyyxx2222121212121212242224yyyyxxpxpxpyyxxp，由122yyp，1224pxx得证.25.设CC’交抛物线于点M，则点M是CC’的中点；证明：12121212(,),(,),CC,22224xxyyyyxxppCC中点横坐标为把122yyy代入22ypx，得2221212121222222,2,.444yyyypxpxpxxppxpxx所以点M的横坐标为12.4xxpx点M是CC’的中点.当弦AB不过焦点时，设AB交x轴于点(,0)(0)Dmm,设分别以A、B为切点的切线相交于点P，求证：26.点P在直线xm上证明：设:,ABxtym与22ypx联立，得21212220,2,2yptypmyyptyypm，又由221112121222:()(),,222:()PAyypxxyyyyyyyyPByypxx，相减得代入11()yypxx得，22112112,2,,22yyyypxyypxxm得证.27.设PC交抛物线于点M，则点M是PC的中点；证明：121212122(,),(,),,2224xxyyyyxxmCPmPC中点横坐标为把122yyy代入22ypx，得221212121212222422,2,2,.444yyyypxpxpmxxmpxyypmpxx所以点M的横坐标为122.4xxmx点M是PC的中点.28.设点A、B在准线上的射影分别是A1，B1，则PA垂直平分A1F，PB垂直平分B1F，从而PA平分1AAF，PB平分1BBF证明：1111110()1,,()22PAAFyyppkkPAAFyppyp又1||||AFAA，所以PA垂直平分A1F.同理可证另一个.证法二：1112221112,,0,22AFAPAAypypkkkyyyppp111tantan11APAAAFAPAFAPAPAAkkkkFAPPAAkkkk12222231111111222221111111122111202()022()101pyppppyypyypyypyppppppypyyyypyppyypyyyp11tantan,.FAPPAAFAPPAA同理可证另一个29.PFAPFB证明：11111,,,PAAPAFPFAPAAPFBPBBPAAPBB同理：只需证易证：111111||||||,,PAPFPBPABPBA11,PAAPBB30．2||||||FAFBPF证明：22222212121212122||||()()(),2224444yyyypppppAFBFxxxxxxp1212(,),22yyyyPp22222222121212122||,222444yyyyyyyyppPFpp得证.例1：（2007江苏高考第19题）如图，过C（0，c）（c0）作直线与抛物线y=x2相交于A、B两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线y+c=0交于P、Q。（1）若OBOA=2，求c的值；（2）若P为线段AB的中点，求证：AQ为抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立。解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（0，c）点A在抛物线上：y1=x12（1）点B在抛物线上：y2=x22（2）直线AB经过点C：2211xcyxcy（3）将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到x1x2=-c，y1y2=c2由OBOA=x1x2+y1y2=2，得c=2。（2）P为线段AB的中点，得点Q的坐标为（221xx，-c）由AQ的斜率k1=121212121112)(22xxxxxxxxxcy，过点A的切线的斜率为k2=2x1。所以直线AQ是抛物线的切线。（3）过点A的切线方程为y-y1=2x1（x-x1）与直线y=-c相交于点Q，将y=-c代入y-y1=2x1（x-x1），可得-c-x12=2x1（x-x1）即x1x2-x12=2x1（x-x1）所以点Q的横坐标为221xx，即点P为线段AB的中点。（2）的逆命题成立。该题的命题思路就是借助于性质3而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切线的斜率，切线的方程的写法，以及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命制的题。例2：（2006全国高考卷Ⅱ21题）抛物线x2=4y的焦点F，A、B是抛物线上两动点，且FBAF，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（1）证明：ABFM为定值；（2）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求出S的最小值。解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（0，1）点A在抛物线上：4y1=x12（1）点B在抛物线上：4y2=x22（2）xyABPQO直线AB经过点F：221111xyxy（3）得到过点A的切线方程：2（y-y1）=x1（x-x1）（4）过点B的切线方程：2（y-y2）=x2（x-x2）（5）由（1）（2）（3）得x1x2=-4，y1y2=1。由（4）、（5）得M坐标为（221xx，-1）。所以ABFM=（221xx，-2）·（x2-x1，y2-y1）=0)(22122122yyxx。（2）FBAF，即（0-x1，1-y1）=λ（x2，y2-1）所以-x1=λx2，再由x1x2=-4，得λx2x2=4，即x2=4，则x1=4，y1=λ，y2=1。由ABFM=0，所以S=f（λ）=422121221221221xxyyxxFMAB=41213。当λ=1时，△ABM的面积S取得最小值。相关考题1、已知抛物线C的方程为yx42，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B；（1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：DFAF；（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．2、对每个正整数