2016年全国卷3数学(理科)高考试题及答案(word版)

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学【全国卷3】第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）1．设集合0)3)(2(xxxS,0xxT,则TS（）。A．32，B．)3[]2,(，C．)3[，D．),3[]20(，2．若iz21,则14zzi（）A．1B．1C．iD．i3．已知向量，，，，)2123()2321(BCBA则ABC（）A30B45C60D1204．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为C15，B点表示四月的平均最低气温约为C5。下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在C0以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.平均最高气温高于C20的月份有5个D.三月和十一月的平均最高气温基本相同5．若43tan，则2sin2cos2（）A．2564B．2548C．1D．25166．已知4213332,3,25abc（）。A．cabB．cbaC．acbD．bac7．执行右面的程序框图，如果输入的6,4ba，那么输出的n()A．3B．4C．5D．6（第7题图）（第10题图）8．在ABC中，4B，BC边上的高等于BC31，则Acos（）A.10103B.1010C.1010D.101039．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A.53618B.51854C.90D.8110．在封闭的直三棱柱111CBAABC内有一个体积为V的球。若BCAB，6AB，8BC，31AA，则V的最大值是（）A．4B．29C．6D．33211.已知O为坐标原点，F是椭圆C：)0(12222babyax的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且xPF轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．31B．21C．32D．4312.定义“规范01数列”na如下：na共有m2项，其中m项为0，m项为1，且对任意mk2，kaaaa......,,321中0的个数不少于1的个数。若4m，则不同的“规范01数列”共有（）A．个18B．个16C．个14D．个12第II卷（非选择题）二、填空题（每空5分，共20分,只要求在每道题相应的横线上填写最后结果。仔细审题。）13．若yx,满足约束条件0220201yxyxyx，则yxz的最大值为__________．14．函数xxycos3sin的图像可由函数xxycos3sin的图像至少向右平移______个单位长度得到。15．已知)(xf为偶函数，当0x时，xxxf3)ln()(，则曲线)(xfy在点)31(，处的切线方程式是．16．已知直线l：033mymx与圆1222yx交于BA,两点，过BA,分别作l的垂线与x轴交于DC,两点，若32AB，则CD．评卷人得分三、解答题本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。（17）（本小题满分12分）已知数列na前n项和nnaS1,其中0（Ⅰ）证明na是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若32315S，求。（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图。注：年份代码71分别对应年份20142008。（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到01.0），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：32.971niy，17.4071niiyt，55.0)(71niyy，646.27。参考公式：相关系数ninniinniiyyttyyttr11221)()())((回归方程tbayˆˆˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：nninniittyyttb121)())((，tbyaˆˆ。（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCDP中，PA底面ABCD，3,//ACADABBCAD，4BCPA。M为线段AD上一点，MDAM2，N为PC的中点。（Ⅰ）证明//MN平面PAB；（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。（20）（本小题满分12分）已知抛物线C：xy22的焦点为F，平行于x轴的两条直线21,ll分别交C于A，B两点，交C的准线于QP,两点。（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明FQAR//；（Ⅱ）若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。（21）（本小题满分12分）设函数)1)(cos1(2cos)(xaxaxf，其中1a，记)(xf的最大值为A。（Ⅰ）求)(xf；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明Axf2)(。请考生在22~24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。（22）（本小题满分10分）选修14：几何证明选讲如图，⊙O中弧AB的中点为P，弦PC，PD分别交AB于FE,两点。（Ⅰ）若PCDPFB2，求PCD的大小；（Ⅱ）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明CDOG。（23）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直线坐标系xoy中，曲线1C的参数方程为sincos3yx（为参数）。以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22)4sin(。（Ⅰ）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时P的直角坐标。（24）（本小题满分10分），选修54：不等式选讲已知函数aaxxf2)(（Ⅰ）当2a时，求不等式6)(xf的解集；（Ⅱ）设函数12)(xxg，当Rx时，3)()(xgxf，求a的取值范围。2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【考点】交集及其运算．菁优网版权所有【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【考点】数量积表示两个向量的夹角．菁优网版权所有【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1D．【考点】三角函数的化简求值．菁优网版权所有【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．（5分）已知a=2，b=3，c=25，则（）A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用．菁优网版权所有【分析】b=4=，c=25=，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a=2=，b=3，c=25=，综上可得：b＜a＜c，故选A【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3B．4C．5D．6【考点】程序框图．菁优网版权所有【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】三角形中的几何计算．菁优网版权所有【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．故选：C．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属于中档题．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90D．81【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱