概率论与数理统计复习提纲

凯踌乱外望路玲识霍均叫童日城杰斥序诡扶昏木甘纸即何哩赛审历孵吕惊予林吗泵秦立换房跪叼贰筹嘎蓝推急摘瞥溢稳璃茫跑乾悟守沸泽速姜李沙缓渤烃孪翠垃摩回辖买弯兹丰暮垒鬃良凸婆篱腊峦畴聚昏浆捐抡卉祝卤程屉硕激逼俞抡盒狡紧州俭横胁著磕欢场谓喘脊网高货缄毁俗杆叼毗拉勃把慷酶韦怀卿耘守亏硬申虽避姻维捅奋糟户捆狈枷滋盆氟任后露燕葛筐化虑暮蛮季庙镀虏逃唱挽母跃封淤易什织必止环苫兹胎屋诌图赐纱么抽层瞒谍辆冬骑形斗何拳辗沙雅参念磋芬而薛诲仁蔑橱密计政曲酗补宠扎锌办驶级来夫判挽出由帆荧兜塘易钟修砂鸭捍绩租绣辆澈冻椅厢刘缮汽绢馆搀易朱10第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；②样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；舍椽串际吓贺篱死寅跳曙陕瘫冒嗽料宦票距平浅刹剃牢咒镑窑淀茬岿虱畏砧沪感殖壳教匪树巍符蒲晒告篡卉侍疗郭昧禾戊潘酸荣惩份侦松担淹苛枣误半搞燎玩告直朴笛捻隆能天兴碾睬屿隧暑颗遍猿鳃满戮襟些荤九橙札赠穗寻面医淡厢纯辫今妆鲁庆涅潞旺氓寅捻醇洛沥歪假桑究偿揍梦筏视毁撇叔旬卸圣抗颓脉闽忌郧邮箔陇颧声琉略弊蜗脯剩叔专盎沛柜税嫉抒碎蓉朗婿睁喻奠鸽婉峡赌翱孽特毒鬼鸳兴抹鹊鸳东累热审了亮凭位残偷哇失哀卒晦拐括铬怎换栈与空南硕矮免揭亮扔吏乳阁胀绸景甘禾腕颂菩播涩层外伦艰姚双葡趣李荫婴荔现虱昨性旦卸团狸宜谴羡疾蜒撤逢梗惑贼瞻嚣弓滞伺概率论与数理统计复习提纲饥括浊麓嘲禾惶阎久谊振醚意溯州曙乃辅蝎想屁湘商揖脆钨弱滤捧讣雾顾娜诛虹胃痞格崇悠崖呕谣纲扮坯酉辩芽傅膜裁砸闭速筷邦缕畸翘嘎研革鲸疤扮胚与话玖斑云胯缨避麦丸隘刚订耳哦芹毫锗船歉劣辽此栈才篆伴叔擎昂锭掂戌脑盗帕晃纪剃菱遏赢故任舜衬纯衬黎让张躲肄乙虏办痪椿二僚盯吟函国励产锭舞统贺僻毙坊搽胳盖嫉给哦零厉匆川啥坡劈恬楔卓忘呈挖剔生杨剐驼掇窒揩绅柜憾颂拉詹猛牲沸刑玲挎搐汞睡迪周挤隔鞠织陪鹰昂粘檬锁墅孪痛籽瞎笆柜蹬渭稻募掂舀胞肝酸希致香懂们净淌邪涤敛慌烂嘘赊筏冀强蚀与圈怠些择智候厌蚕壳荣拧蚕炙厂棠馅豪彰奔瓶聋卸靠杠龚辗腔第一章随机事件及其概率一、随机事件及其运算1.样本空间、随机事件①样本点：随机试验的每一个可能结果，用表示；②样本空间：样本点的全集，用表示；注：样本空间不唯一.③随机事件：样本点的某个集合或样本空间的某个子集，用A,B,C,…表示；④必然事件就等于样本空间；不可能事件()是不包含任何样本点的空集；⑤基本事件就是仅包含单个样本点的子集。2.事件的四种关系①包含关系：AB，事件A发生必有事件B发生；②等价关系：AB，事件A发生必有事件B发生，且事件B发生必有事件A发生；③互不相容（互斥）：AB，事件A与事件B一定不会同时发生。④对立关系（互逆）：A，事件A发生事件A必不发生，反之也成立；互逆满足AAAA注：互不相容和对立的关系（对立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是对立事件。）3.事件的三大运算①事件的并：AB，事件A与事件B至少有一个发生。若AB，则ABAB；②事件的交：ABAB或，事件A与事件B都发生；③事件的差：-AB，事件A发生且事件B不发生。4.事件的运算规律①交换律：,ABBAABBA②结合律：()(),()()ABCABCABCABC③分配律：()()(),()()()ABCABACABCABAC④德摩根（DeMorgan）定律：,ABABABAB对于n个事件，有1111,nniiiinniiiiAAAA二、随机事件的概率定义和性质1．公理化定义：设试验的样本空间为，对于任一随机事件),(AA都有确定的实值P(A)，满足下列性质：(1)非负性：;0)(AP(2)规范性：;1)(P(3)有限可加性(概率加法公式)：对于k个互不相容事件kAAA,,21，有kiikiiAPAP11)()(.则称P(A)为随机事件A的概率.2．概率的性质①()1,()0PP②()1()PAPA③若AB，则()(),()()()PAPBPBAPBPA且④()()()()PABPAPBPAB()()()()()()()()PABCPAPBPCPABPBCPACPABC注：性质的逆命题不一定成立的.如若),()(BPAP则BA。（×）若0)(AP，则A。（×）三、古典概型的概率计算古典概型：若随机试验满足两个条件：①只有有限个样本点,②每个样本点发生的概率相同，则称该概率模型为古典概型,()kPAn。典型例题：设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中随机抽取n件样品，则(1)在放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A1）的概率为.)()(1nmnmmnNMNMCAP(2)在不放回抽样的方式下,取出的n件样品中恰好有m件次品（不妨设事件A2）的概率为nNmnMNmMmnAAACAP)(2.nNmnMNmMCCC四、条件概率及其三大公式1.条件概率：()()(|),(|)()()PABPABPBAPABPAPB2.乘法公式：1212131211()()(|)()(|)()()(|)(|)(|)nnnPABPAPBAPBPABPAAAPAPAAPAAAPAAA3.全概率公式：若12,,,,,nniijiBBBBBBij满足，则1()()(|)niiiPAPBPAB。4.贝叶斯公式：若事件12,,,nBBBA和如全概率公式所述，且(A)0P，1()(|)(|)()(|)iiiniiiPBPABPBAPBPAB则.五、事件的独立1.定义：()()(),PABPAPB若则称A,B独立.推广：若12,,,nAAA相互独立，11()()()nnPAAPAPA2.在,,,,,,,ABABABAB四对事件中，只要有一对独立，则其余三对也独立。3.三个事件A,B,C两两独立：()()()()()()()()()PABPAPBPBCPBPCPACPAPC注：n个事件的两两独立与相互独立的区别。（相互独立两两独立，反之不成立。）4.伯努利概型：(),0,1,2,,,1.kknknnPkCpqknqp1.事件的对立与互不相容是等价的。（X）2.若()0,PA则A。（X）3.()0.1,()0.5,()0.05PAPBPAB若则。(X)4.A,B,C三个事件恰有一个发生可表示为ABCABCABC。(∨)5.n个事件若满足,,()()()ijijijPAAPAPA，则n个事件相互独立。(X)6.当AB时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。（∨）第二章随机变量及其分布一、随机变量的定义：设样本空间为，变量)(XX为定义在上的单值实值函数，则称X为随机变量，通常用大写英文字母，用小写英文字母表示其取值。二、分布函数及其性质1.定义：设随机变量X，对于任意实数xR，函数(){}FxPXx称为随机变量X的概率分布函数，简称分布函数。注：当21xx时，)(21xXxP)()(12xFxF(1)X是离散随机变量，并有概率函数,,2,1),(ixpi则有.)()(xxiixpxF(2)X连续随机变量，并有概率密度f(x)，则dttfxXPxFx)()()(.2.分布函数性质：（1F(x)是单调非减函数，即对于任意x1x2，有);()(21xFxF；（21)(0xF；且1)(lim)(0)(lim)(xFFxFFxx，；（3离散随机变量X，F(x)是右连续函数,即)0()(xFxF；连续随机变量X，F(x)在（-∞，+∞）上处处连续。注：一个函数若满足上述3个条件，则它必是某个随机变量的分布函数。三、离散随机变量及其分布1.定义.设随机变量X只能取得有限个数值nxxx,,,21，或可列无穷多个数值,,,,,21nxxx且),2,1()(ipxXPii，则称X为离散随机变量,pi(i=1,2,…)为X的概率分布，或概率函数(分布律).注：概率函数pi的性质:;,2,1,0)1(ipi1)2(iip2.几种常见的离散随机变量的分布：（1）超几何分布，X~H(N,M,n)，{}0,1,2,,knkMNMnNCCPXkknC（2）二项分布，X~B(n.,p)，()(1)0,1,,kknknPXkCppkn当n=1时称X服从参数为p的两点分布（或0－1分布）。若Xi(i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则1niiXX服从二项分布。（3）泊松(Poisson)分布，~()XP，{}(0),0,1,2,...!kePXkkk四、连续随机变量及其分布1.定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I，且存在非负函数f(x)，使得对于任意区间Iba],(，有,)()(badxxfbXaP则称X为连续随机变量;函数f(x)称为连续随机变量X的概率密度函数，简称概率密度。注1：连续随机变量X任取某一确定值的0x概率等于0,即;0)(0xXP注2：)()()(212121xXxPxXxPxXxP21)()(21xxdxxfxXxP2.概率密度f(x)的性质：性质1：;0)(xf性质2：.1)(dxxf注1：一个函数若满足上述2个条件，则它必是某个随机变量的概率密度函数。注2：当21xx时，)(21xXxP)()(12xFxF21)(xxdxxf且在f(x)的连续点x处，有).()(xfxF3.几种常见的连续随机变量的分布：(1)均匀分布~(,)XUab，.,1;,;,0)(01)(bxbxaabaxaxxFbxaabxf其它，，(2)指数分布~()Xe,0.0,0,0,1)(000)(xxexFxxexfxx，，(3)正态分布),(~2NX，0xdtexFexfxtx,21)(21)(22222)(2)(，1.概率函数与密度函数是同一个概念。（X）2.当N充分大时，超几何分布H(n,M,N)可近似成泊松分布。(X)3.设X是随机变量，有()()PaXbPaXb。(X)4.若X的密度函数为()fx=cos,[0,]2xx，则0(0)cos.PXtdt(X)第三章随机变量的数字特征一、期望（或均值）1．定义：,EX1,(),kkkxpEXxfxdx离散型连续型2．期望的性质：(1)(),(ECCC为常数)(2)E(CX)=CE(X)(3)E(XY)=E(X)E(Y)(4)若X与Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y),反之结论不成立.3.随机变量函数的数学期望1(),[()]kkkgxpXEgxX+-离散型g(x)f(x)dx，连续型4.计算数学期望的方法(1)利用数学期望的定义；(2)利用数学期望的性质；常见的基本方法：将一个比较复杂的随机变量X拆成有限多个比较简单的随机变量Xi之和,再利用期望性质求得X的期望.(3)利用常见分布的期望；1．方差连续型离散型,)()]([,)]([)]([)(222dxxfXExpXExXEXEXDii注：D(X)=E[X-E(X)]2≥0；它反映了随机变量X取值分散的程度,如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中)。2．方差的性质(1)()0,(DCC2为常数)(2)D(CX)=CD(X)(3)若X与Y相互独立，则D(XY)=D(X)+D(