分析法与综合法

分析法与综合法一、分析法与综合法的定义1、定义所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法．分析法的思维全貌可概括为下面形式：“结论需知1需知2…已知”．所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法．综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：“已知可知1可知2…结论”．二、例题赏析例1、已知：abR，，且ab，求证：3322ababab．证明一：（分析法）要证3322ababab，即证22()()()abaabbabab，因为0ab，故只需证22aabbab，即证2220aabb，即证2()0ab，因为ab，所以2()0ab成立，所以3322ababab成立．证明二：（综合法）由ab，知2()0ab，即2220aabb，则22aabbab．又0ab，则22()()()abaabbabab，即3322ababab．实际证题过程中，分析法与综合法往往是结合起来运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是比较少的．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，综合法居主导地位，而分析法伴随着它．特别是，对于那些较为复杂的数学命题，不论是从“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠拢“已知”，都有一个比较长的过程，单靠分析法或综合法显得较为困难．为保证探索方向准确及过程快捷，人们又常常把分析法与综合法两者并列起来使用，即常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标．从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效路径．上面所言的思维模式可概括为如下图所示：综合法与分析法是逻辑推理的思维方法，它对于培养思维的严谨性极为有用．把分析法与综合法两者并列起来进行思考，寻求问题的解答途径方式，就是人们通常所说的分析、综合法．下面举一具体例子加以说明：例2、若abc，，是不全相等的正数，求证：lglglglglglg222abbccaabc．证明：要证lglglglglglg222abbccaabc只需证lglg()222abbccaabc，只需证222abbccaabc．但是，02abab≥，02bcbc≥，02caca≥．且上述三式中的等号不全成立，所以222abbccaabc．因此lglglglglglg222abbccaabc．注：这个证明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是综合法．例3、例1如图1，在四面体AVBC中，60VAVBVCAVBAVC，，90BVC，求证：平面VBC⊥平面ABC．分析：要证面面垂直需通过线面垂直来实现，可是哪一条直线是我们所需要的与平面垂直的直线呢？我们假设两平面垂直已经知道，则根据两平面垂直的性质定理，在平面VBC内作VDBC⊥，则VD⊥平面ABC，所以VD即为我们所要寻找的直线．要证明VD⊥平面ABC，除了已知的VDBC⊥之外，还需要在平面ABC内找一条直线与VD垂直，哪一条呢？假设已知知道VD⊥平面ABC，则VD与平面ABC内的任意直线均垂直，即必有VDABVDAC，⊥⊥，但这两个垂直的证明较难入手，还有其他的直线吗？连结AD呢？假设已经知道VD⊥平面ABC，则必有VDAD⊥．通过计算可得到90VDA，原题得证．证明：设BC的中点为D，连结VDAD，，因为VBVC，所以VDBC⊥；设1VAVBVC，因为6090AVBAVCBVC，，所以2122ABACBCVDAD，，，所以90VDA，即VDAD⊥，又已知ADBCD，所以VD⊥平面ABC，又VD平面VBC，所以平面VBC⊥平面ABC．例4、如图2，在长方体1111ABCDABCD中，证明：平面1ABD∥平面11CBD．分析：要证明两平面平行，需在一平面内寻找两条相交直线与另一平面平行．假设两平面平行已知，则一个平面内的任意直线均与另一个平面平行，所以有11ABADBD，，均与平面11CBD平行，选择任意两条均可，不妨选择11ABAD，．要想证明11ABAD，与平面11CBD平行，需在平面11CBD内寻找两条直线分别与11ABAD，平行，假设11ABAD，与平面11CBD平行已知，则根据线面平行的性质定理，过1AB的平面11ABCD与平面11CBD相交所得的交线1CD与1AB平行；过1AD的平面11ADCB与平面11CBD相交所得的交线1BC与1AD平行．11CDBC，即为所要寻找的直线．从而易知11CDBC，分别与11ABAD，平行，原题得证．证明：因为1111ABCDABCD为长方体，所以有11ADBC∥，即四边形11ABCD为平行四边形，从而有11ABCD∥，又已知1AB平面111CBDCD，平面11CBD，进而有1AB∥平面11CBD；同理有11ADBC∥，从而有1AD∥平面11CBD；又已知111ABADA，所以有平面1ABD∥平面11CBD．从上面的两例可以看出，分析法的基本思路是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．同学们可以在学习过程中，沿着这样的解题思路，亲自体验一下分析法在立几证明中的妙用.例4、设A、B、C是双曲线xy=1上的三点，求证：△ABC的垂心H必在此双曲线上．分析：如图1－1，设H的坐标为(x0，y0)，要证H在此双曲线上，即证x0y0=1．而H是两条高AH与BH的交点，因此需求直线AH、BH的方程，进而从所得方程组中设法推出x0y0=1．证明:如图1－1，由已知可设A、B、C的坐标分别为，设点H的坐标为(x0，y0)，则由①式左乘②式右及①式右乘②式左，得化简可得x0y0(α-β)=α-β．∵α≠β，∴x0y0=1．故H点必在双曲线xy=1上．解说:本证法的思考过程中，从分析法入手，得出证点H在双曲线xy=1上就是证x0y0=1．这为综合法证明此题指明了目标．在用综合法证明的过程中，牢牢抓住这个目标，去寻找x0、y0的关系式，用式子①与②相乘，巧妙地消去参数α、β、γ，得到x0y0=1．从而避免了解方程的麻烦，提高了解题速度．练习：1、设bababa则,62,,22R的最小值是（）A．22B．335C．－3D．272、．在ABC△中，sinsincoscosACAC，则ABC△一定是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定3．观察式子：213122，221151233，222111712344，，则可归纳出式子为（）Ａ．22211111(2)2321nnn≥Ｂ．22211111(2)2321nnn≥Ｃ．222111211(2)23nnnn≥Ｄ．22211121(2)2321nnnn≥4、已知实数0a，且函数)12()1()(2axxaxf有最小值1，则a=__________。5、已知ba,是不相等的正数，baybax,2，则yx,的大小关系是_________。6、若正整数m满足mm102105121，则)3010.02.(lg______________m7、a,b,c∈R+，求证：(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3≥256a2b2c3.8、x,y,z,a均大于1，且logaxyz=9，求证：logxa+logya+logza≥1.9、已知cba,,都是互不相等的正数，求证.9))((abccabcabcba18．如图，已知PA矩形ABCD所在平面，MN，分别是ABPC，的中点．求证：（1）MN∥平面PAD；（2）MNCD．