直线与平面垂直的判定教案

§2.3.1直线与平面垂直的判定教学内容分析本课取自普通高中课程标准实验教科书数学（必修2·人民教育出版社A版）第二章2.3.1.本节内容是直线和平面垂直的概念发现、直线和平面垂直的判定定理的探索过程，是在学习了空间的点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的空间的另一种重要位置关系的学习.垂直是立体几何的核心概念之一.直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它既是直线与平面位置关系的深化，又是研究面面垂直、线面角、面面角的基础，在教材中起到了承上启下的作用，具有相当重要的地位.教学重难点教学重点：直观感知、操作确认，概括出直线与平面垂直的定义和判定定理.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用.教学目标解析知识与技能：1．经历对实例、图片的观察，提炼直线平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；2．通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.过程与方法：1、类比空间的平行关系，提高提出问题、分析问题的能力.2、在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同事感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无线转化为有限”等划归的数学思想.3、尝试用数学语言（文字、符号、图形语言）对定义和定理进行准确表述和合理转换.情感、态度与价值观：经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度.教学过程一、直线与平面垂直定义的建构（本环节是教学的第一个重点，是后面探究活动的基础，分三步进行：）（1）创设情境—感知概念①多媒体展示图片：观察图片，引导学生寻找出其中线面垂直的位置关系.（旗杆与地面、桥墩与水面）②师生活动：引导学生举出身边更多类似的例子.（如教室内直立的墙角线和地面的位置关系，桌子的四只脚与地面的位置关系等）（2）观察归纳—形成概念①思考：从直线与直线垂直、直线与平面平行的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？②结合问题(1)和(2)观察动画演示：在阳光下设计意图从实例到图片再到实际生活，直观感知直线和平面垂直的位置关系，从而建立初步印象，为下一步的数学抽象做准备教学过程直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC的位置变化.问题(1)：旗杆所在的直线AB与影子所在的直线BC的位置关系是什么？问题(2)：旗杆AB与地面内任意一条不过旗杆底部B的直线B1C1的位置关系又是什么？由此可以得到什么结论？（师生活动：在多媒体演示时，先展示动画1使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直.再展示动画2引导学生根据异面直线所成角的概念得出旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直.）③引导学生归纳直线与平面垂直的定义、介绍相关概念，并引导学生用符号语言表示.定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α..用符号语言表示为：（师生活动：学生以小组为单位讨论交流，互相补充，并派代表作答，教师补充完善，指出定义中的“任意一条直线”与“所有直线”是同意词，同时给出直线与平面垂直的记法，并引导学生用符号语言表示.）④学生画图：引导学生将地面看成平面，旗杆看做直线l画出旗杆与地面位置关系的几何图形.（师生活动：学生练习本上画图，教师针对学生出现的问题，如不直观、不标字母等加以强调.）（3）辨析讨论—深化概念辨析1：下列命题是否正确，为什么？（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直.（2）如果一条直线垂直一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任一直线.（师生活动：命题（1）判断中引导学生利用手中的笔和三角板，笔表示直线，三角板两直角边表示两垂直直线，桌面表平面，将三角板的一条直角边AC放在桌面上，这时另一条直角边BC就和桌面内的一条直线（即三角板与桌面的交线AC）垂直，在此基础上在桌面内放一只和AC平行的笔EF并平行移动，那么BC始终①引导学生用“平面化”与“降维”的思想来思考问题，直线和平面垂直的问题同样可以转化为考察直线和平面内直线的关系②通过观察思考，感知直线与平面垂直的本质内涵③充分发挥学生的主观能动性，提高抽象概括能力，让学生体验成功的喜悦④从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换通过问题辨析与讨论，加深概念的理解，掌握概念的本质属性.由（1）使学生明确定义中的“任意”和“无数”的不同.由直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.教学过程和EF垂直，但BC不一定和桌面垂直，最后教师给出反例的直观图1.）由（2）给出下列常用命题：指出它是判断直线与直线垂直的常用方法，它将直线与直线垂直的问题转化为判定一条直线垂直于另一条直线所在的平面.（2）使学生明确，线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，“直线与直线垂直”和“直线与平面垂直”可以相互转化.一、直线与平面垂直的判定定理的探究（1）动手操作—得出定理问题：如何将一张长方形贺卡直立于桌面？A.折纸实验：如图，让学生拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，再将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），进行观察并思考：问题①折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？（师生活动：在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因.学生再次折纸，经过讨论交流，发现当且仅当折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD与桌面垂直.）问题②由折痕AD⊥BC，翻折之后垂直关系发生变化吗？（即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？）由此你能得到什么结论？（师生活动：师生共同分析折痕AD是BC边上的高时的实质：AD是BC边上的高时，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD.这就是说，当AD垂直于桌面内的两条两条相交直线CD、BD时，它就垂直于桌面.）B．多媒体演示翻折过程.C．归纳出直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.用符号语言表示为：（师生活动：在归纳直线与平面垂直的判定定理时，先让学生交流讨论不完善的地方教师引导、补充完整，归纳出线面垂直的通过实验操作，引导学生发现折痕AD与桌面垂直的条件：AD垂直桌面内两条相交直线.问题②吸引学生注意力，为推出重点做准备.B．增设动态演示模拟实验，让学生更加清楚看到“平面化”的过程，在已有数学知识的基础上加以确认定理C．让学生在自己的实践中感受数学探索的乐趣，图1教学过程判定定理.然后要求学生试用图形语言与符号语言来表示定理，指出定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.）（2）尝试练习，巩固定理例1．如图2.3-1，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.(课本65P中的例1)(师生活动：此题是课本65P中的例1，有一定难度，教师引导学生分析思路，可用判定定理证，也可利用定义证，提示辅助线的添法，学生练习本上完成，对照课本65P例1,完善自己的解题步骤，让学生用文字语言叙述：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.指出：命题体现了平行关系与垂直关系的联系，其结果可以作为直线和平面垂直的又一个判定方法.)ab\bαmn（2.3-1）A'D'BC'DACA'A'D'D'BBC'C'DAAC（2.3-2）练习：如图2.3-2，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，1.列举与平面ABCD垂直的直线.2.列举与直线AA′垂直的平面.3.找出一条与对角面A′ACC′垂直的直线.考虑直线BD′与A′C′的关系.增强学习数学的兴趣，在讨论交流中激发学生的积极性和创造性例1使学生对线面垂直认识由感性上升到理性；同时，展示了平行与垂直之间的转化与联系，给出判断线面垂直的一种间接方法，为今后多角度研究问题提供思路.三、直线和平面所成的角探究：课本P66如图，直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，直线A′C叫做平面ABCD的什么呢？它们的位置关系如何刻画呢？CAC'D'BB'DA'CCAC'D'BB'DA'AC'D'BB'DA'AC'D'BB'DA'AC'D'BB'DA'AAC'C'D'BB'DA'D'D'BBB'B'DDA'A'（师生活动：由探究引入平面的斜线以及直线和平面所成的角）例2．正方体中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.师生共同探讨解题方法.四、总结反思—提高认识（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？（2）线面角的概念及范围；（3）本节课涉及到哪些数学思想和方法？（师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善，以知识结构图归纳出判断直线与平面垂直的方法即可用定义，判定定理或例3的结论，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路.）通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯.五、布置作业—自主探究必做题：1.课本P74练习2；2.课本P87B组2题.选做题：如图，已知:α∩β＝l,PA⊥α于A,PB⊥β于B,AQ⊥l于Q,求证:BQ⊥l.lQBAPlQBAPlQBAP通过训练，巩固本课所学知识，感悟其中蕴涵的转化数学思想，增强学生的应用意识.必做题是线面垂直判定定理的应用.选做题有助于培养学生的发散思维，这样，使不同程度的学生都有所获.六、板书设计§2.3.1直线与平面垂直的判定1、直线与平面2、直线与平面垂直例1.证明：3、线面角垂直的定义：的判定定理：----------------------------------------------------------