中考数学复习专题三：代数、三角、几何综合问题

中考数学复习专题3代数、三角、几何综合问题概述：代数、三角与几何综合题是较复杂与难度较大的问题，其中包括方程、函数、三角与几何等，内容基本上包含所有的初中数学知识，必须把以前的函数观念、方程思想、数形结合思想、转化与化归思想进行综合来解题．典型例题精析例1．有一根直尺的短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图1，将直尺的矩边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移如图2，设平移的长度为xcm（0≤x≤10），直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．（1）当x=0时（如图），S=________；当x=10时，S=___________；（2）当0x≤4时（如图2），求S关于x的函数关系式；（3）当4x10时，求S关于x的函数关系式，并求出S的最大值（同学可在图3、图4中画草图）解析：（1）2；2．（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，∴DG=AD=x．同理EF=AE=x+2，∴S梯形DEGF=12（x+x+2）×2=2x+2，∴S=2x+2．（3）①当4x6时，（如图5）GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，则S△ADG=12x-2，S△BEF=12（10-x）2，而S△ABC=12×12×6=36，∴S=36-12x2-12（10-x）2=-x2+10x-14，S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11，∴当x=5（456）时，S最大值=11．②当6≤x10时（如图6），BD=BG=12-x，BE=EF=10-x，S=12（12-x+10-x）×2=22-2x，S随x的增大而减小，所以S≤10．由①、②可得，当4x10时，S最大值=11．例2．如图所示，点O2是⊙O1上一点，⊙O2与⊙O1相交于A、D两点，BC⊥AD，垂足为D，分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点，延长DO2交⊙O2于E，交BA的延长线于F，BO2交AD于G，连结AG．（1）求证：∠BGD=∠C；（2）若∠DO2C=45°，求证：AD=AF；（3）若BF=6CD，且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根，求BD、BF的长．解析：（1）∵BC⊥AD于D，∴∠BDA=∠CDA=90°，∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径．∵∠2=∠3，∠BGD+∠2=90°，∠C+∠3=90°，∴∠BGD=∠C．（2）∵∠DO2C=45°，∴∠ABD=45°，∵O2D=O2C，∴∠C=∠O2DC=12（180°-∠DO2C）=67.5°，∴∠4=22.5°，∵∠O2DC=∠ABD+∠F，∴∠F=∠4=22.5°，∴AD=AF．（3）∵BF=6CD，∴设CD=k，则BF=6k．连结AE，则AE⊥AD，∴AE∥BC，∴AEAFBDBF∴AE·BF=BD·AF．又∵在△AO2E和△DO2C中，AO2=DO2∠AO2E=∠DO2C，O2E=O2C，∴△AO2E≌△DO2C，∴AE=CD=k，∴6k2=BD·AF=（BC-CD）（BF-AB）．∵∠BO2A=90°，O2A=O2C，∴BC=AB．∴6k2=（BC-k）（6k-BC）．∴BC2-7kBC+12k2=0，解得：BC=3k或BC=4k．当BC=3k，BD=2k．∵BD、BF的长是关于x的方程x2-（4m+2）x+4m2+8=0的两个实数根．∴由根与系数的关系知：BD+BF=2k+6k=8k=4m+2．整理，得：4m2-12m+29=0．∵△=（-12）2-4×4×29=-3200，此方程无实数根．∴BC=3k（舍）．当BC=4k时，BD=3k．∴3k+6k=4m+2，18k2=4m2+8，整理，得：m2-8m+16=0，解得：m1=m2=4，∴原方程可化为x2-18x+72=0，解得：x1=6，x2=12，∴BD=6，BF=12．中考样题训练1．已知抛物线y=-x2+（k+1）x+3，当x1时，y随着x的增大而增大，当x1时，y随x的增大而减小．（1）求k的值及抛物线的解析式；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），抛物线的顶点为P，试求出A、B、P三点的坐标，并在直角坐标系中画出这条抛物线；（3）求经过P、A、B三点的圆的圆心O′的坐标；（4）设点G（0，m）是y轴上的动点．①当点G运动到何处时，直线BG是⊙O′的切线？并求出此时直线BG的解析式．②若直线BG与⊙O相交，且另一个交点为D，当m满足什么条件时，点D在x轴的下方？2．如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．（1）若sin∠OAB=45，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式；（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究：①四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明；②经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由．3．如图，已知直线L与⊙O相交于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连结OP交⊙O于点C，连结BC并延长BC交直线L于点D．（1）若AP=4，求线段PC的长；（2）若△PAO与△BAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积．（答案要求保留根号）LCBADPOyMCBAxPON考前热身训练1．如图，已知A为∠POQ的边OQ上一点，以A为顶点的∠MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且∠MAN=∠POQ=α（α为锐角），当∠MAN为以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转（∠MAN保持不变）时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平行移动．设OM=x，ON=y（yx≥0），△AOM的面积为S，若cosα、OA是方程2z2-5z+2=0的两个根．（1）当∠MAN旋转30°（即∠OAM=30°）时，求点N移动的距离；（2）求证：AN2=ON·MN；（3）求y与x之间的函数关系式及自变量量x的取值范围；（4）试写出S随x变化的函数关系式，并确定S的取值范围．2．如图，已知P、A、B是x轴上的三点，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），且PA：AB=1：2，以AB为直径画⊙M交y轴的正半轴于点C．（1）求证：PC是⊙M的切线；（2）在x轴上是否存在这样的点Q，使得直线QC与过A、C、B三点的抛物线只有一个交点？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）画⊙N，使得圆心N在x轴的负半轴上，⊙N与⊙M外切，且与直线PC相切于D，问将过A、C、B三点的抛物线平移后，能否同时经过P、D、A三点？为什么？yMCBAxDPONMAQPON答案:中考样题看台1．（1）k=1，抛物线解析式y=-x2+2x+3（2）A（-1，0），B（3，0），C（1，4）（3）∵⊙O′过A、B两点，∴O′在AB的垂直平分线上，即在抛物线的对称轴上，设抛物线的对称轴交x轴于M，交⊙O′于N，则有MP×MN=MA×MB，4MN=2×2，∴MN=1，PN=5，O′P=52PM，∴O′点在x轴上方，∴O′M=32，∴O′（1，32）．（4）①过B点作⊙O′的切线交y轴于点G，直线BO′交y轴于点E，可求出直线BO′的解析式为，y=-34x+94，∴E（0，94），∵BG是⊙O′的切线，BO⊥EG，∴BO=OE×OG，∴OG=4，∴G（0，-4），求出直线BG的解析式为y=43x-4．②-4m0．2．（1）在Rt△AOB中，∵OA=3，sin∠OAB=45，cos∠OAB=35，∴AB=5，OB=4，BP=5-3=2．在Rt△APM中，APAM=cos∠OAB=35，∴AM=5，OM=2，∴点M（0，-2），又△NPB∽△AOB，∴BNABBPOB，∴BN=52，∴ON=32，∴点B（32，0），设MP的解析式为y=kx+b，∵MP经过M、N两点，∴MP的解析式为y=43x-2，设过M、N、B的抛物线解析式为y=a（x-32）（x-4）且点M（0，-2）在其上，可得a=-13，即y=-13x2+116x-2．（2）①四边形OMCB是矩形．证明：在⊙A不动，⊙B运动变化过程中，恒有∠BAO=∠MAP，OA=AP，∠AOB=∠APM=90°，∴△AOB≌△APM，∴OB=PM，AB=AM，∴PB=OM，而PB=BC，∴OM=BC，由切线长定理知MC=MP，∴MC=OB，∴四边形MOBC是平行四边形，又∵∠MOB=90°，∴四边形MOBC是矩形．②存在，由上证明可知，Rt△MON≌Rt△BPN，∴BN=MN．因此在过M、N、B三点的抛物线内有以BN为腰的等腰三角形MNB存在，由抛物线的轴对称性可知，在抛物线上必有一点M′与M关于其对称轴对称，∴BN=BM′，这样得到满足条件的三角形有两个，△MNB和△M′NB．3．（1）∵L与⊙O相切于点A，∴∠4=90°，∴OP2=OA2+AP2，∵OB=OC=12AB=3，AP=4，∴OP2=32+42，∴OP=5，∴PC=5-3=2．（2）∵△PAO∽△BAD，且∠1∠2，∠4=90°，∴∠2=∠APO，∴OB=OC，∴∠2=∠3∵∠1=∠2+∠3，∴∠2=2∠2=2∠APO∴∠4=90°，∴∠1+∠APO=90°∴3∠APO=90°，∴∠APO=30°．在Rt△BAD中，∠2=∠APO=30°．∴AD=6sin30°=6×33=23．过点O作OE⊥BC于点E∵∠2=30°，BO=3，∴OE=32，BE=3×cos30°=332，∴BC=2BE=33，∴S四边形OADC=S△BAD-S△BOC=12AB·AD=12BC·OE=12×6×23-12×33×32=63-943=1543．考前热身训练1．（1）易知OA=2，cosα=12，∠POQ=∠MAN=60°，∴初始状态时，△AON为等边三角形，∴ON=OA=2，当AM旋转到AM′时，点N移动到N′，∵∠OAM′=30°，∠POQ=∠M′AN′=60°，∴∠M′N′A=30°，在Rt△OAN中，ON′=2AO=4，∴NN′=ON′-ON=2，∴点N移动的距离为2．（2）易知△OAN∽△AMN，∴AN2=ON·MN．（3）∵MN=y-x，∴AN2=y2-xy，过A点作AD⊥OP，垂足为D，可得OD=1，AD=3，∴DN=ON-OD=y-1，在Rt△AND中，AN2=AD2+DN2=y2-2y+4，∴y2-xy=y2-2y+4，即y=42x．∴y0，∴2-x0，即x2，又∵x≥0，∴x的取值范围是：0≤x2．（4）S=12·OM·AD=32x，∵S是x的正比例函数，且比例系数320，∴0≤S32·2．即0≤S32．（1）易知⊙M半径为2，设PA=x，则x：4=1：2x=2，由相交弦定理推论得OC=OA．OB=1×3，∴OC=3，∴PC2=PO2+OC2=32+（3）2=12，PM2=42=16，MC2=22=4，∴PM2=PC2+MC2，∴∠PCM=90°．（2）易知过A、C、B三点的抛物线的解析式为y=-33（x+1）（x-3），假设满足条件的Q点存在，坐标为（m，0），直线QC的解析式为y=-3mx+3，∵直线QC与抛物线只有一个公共点，∴方程-33（x+1）（x-3）=-3mx+3有相等的实根，∴（2+3m）2=0，∴m=-32，即满足条件的Q点存在，坐标为（-32，0）；（3）连结DN，作DH⊥PN，垂足为H，设⊙N的半径为r，则∵ND⊥PC，∴ND∥MC，∴DNPNMCPM，∴224rr，∴r=23，∵DN2=NH·NP，∴（23）2=NH·（2-23），∴NH=13，∴DH=NHHP=33，∴D（-2，33）．∵抛物线y=-33（x+1）（x-3）平移，使其经过P、A两点的抛物线的解析式为y=-