中考数学复习专题十一：代数综合题

中考数学复习专题11代数综合题概述：代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，这类题主要以方程或函数为基础进行综合．解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题．解题时，计算不能出差错，思维要宽，考虑问题要全面．典型例题精析例．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，O），B（x2，0）（x1x2），顶点M的纵坐标为-4，若x1，x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根，且x12+x22=10．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）求A、B两点的坐标，突破口在x1，x2，两个未知数需两个方程：方程122122(1)7xxmxxm多出一个m还应再找一个x12+x22=10③，用配方法处理先算m．由③：（x1+x2）2-2x1x2=10④将①②代入④，得4（m2-2m+1）-2m2+14=10，2m2-8m+8=0，m2-4m+4=0，m=2．且当m=2时，△=4-4×（-3）0合题意．将m=2代入①②，得12122,3,xxxxx12-2x1=3123,1,xx或121,3.xx∵x1x2（看清条件，一个不漏，全方位思考）∴x1=-1，x2=3，∴A（-1，0），B（3，0）．（2）求y=ax2+bx+c三个未知数，布列三个方程：将A（-1，0），B（3，0）代入解析式，再由顶点纵坐标为-4，可得：设y=a（x-3）（x+1）（两点式）且顶点为M（1，-4），代入上式得-4=a（1-3）（1+1）a=1．∴y=（x-3）（x+1）=x2-2x-3．令x=0得y=-3，∴C（0，-3）．（3）四边形ACMB是非规则图形，所以面积需用分割法．S四边形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM①②=12AO·OC+12（OC+MN）·ON+12NB·MN=12×1×3+12（3+4）×1+12×2×4=9．用分析法：假设存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四边形ACMB=18，即12AB│y0│=18，12×4│y0│=18，y0=±9．将y0=9代入y=x2-2x-3，得x1=1-13，x2=1+13，将y0=-9代入y=x2-2x-3得△0无实数根，∴P1（1-13，9），P2（1+13，9），∴存在符合条件的点P1，P2．中考样题训练1．已知抛物线y=x2+（m-4）x+2m+4与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1x2，x1+2x2=0，若点A关于y轴的对称点是D．（1）求过点C、B、D的抛物线的解析式；（2）若P是（1）所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD和△CBD的积相等，求直线PH的解析式．2．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．CMABED．矩形OABC在直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y=34x与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；（3）P为x轴上方，（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标．4．如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2ba，244acba）．（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．考前热身训练1．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，如图，且二次项系数为-1a（a0）．（1）求该抛物线的解析式（系数用含a的代数式表示）；（2）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），求M，N的坐标（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，当a在什么范围内取值时，ON+BN的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-OM的值也为常数？ABxyO2．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y万元，这列货车挂A型车厢x节，试写出y与x的函数关系式；（2）如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨或乙种货物15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物25吨或乙种货物35吨，装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费多少元？3．已知抛物线y=12x2-x+k与x轴有两个不同的交点．（1）求k的取值范围；（2）设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在原点的左侧，抛物线与y轴交于点C，若OB=2．OC，求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P（点D除外），使得以A、B、P三点为顶点的三角形与△ABD相似？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．4．在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药物后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似地满足如图所示的折线．（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式及自变量取值范围；（2）据临床观察：每毫克血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的/如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？（3）假若某病人一天中第一次注射药液是早上6点钟，问怎样安排此人从6：00～20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？答案:中考样题看台1．（1）由12121220424xxxxmxxm△=（m-4）2+4（2m+4）=m2+320得m1=2，m2=7（舍去），x1=-4，x2=2得A、B、C坐标为：A（-4，0），B（2，0），C（0，8），所求抛物线的解析式为：y=x2-6x+8（2）∵y=x2-6x+8=（x-3）2-1，∴顶点P（3，-1），设点H的坐标为（x0，y0），∵△BCD与△HBD的面积相等，∴│y0│=8，∵点H只能在x轴上方，故y0=8，求得H（6，8），直线PH解析式为y=3x-10．2．（1）当点P运动2秒时，AB=2cm，由∠=60°，知AE=1，PE=3，∴S△APE=32（cm）2．（2）①当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G，ON与AD交于点F，则AQ=t，AF=2t，QF=32t，AP=t+2AG=1+2t，BG=+32t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=32t+32．当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动，设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=2t，DF=4-2t．QF=32t，BP=t-6，CP=10-t，PG=（10-t）3．而BD=43，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=538t2+103-343．当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动，设PM与DC交于点G．QN与DC交于点F，则CQ=20-2t，QF=（20-2t）3，CP=10-t，PG=（10-t）3．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=332t--303t+1503，故S关于t的函数关系式为S=2233(06),2253103343(68),8333031503(810).2tttttttt②（附加题）当0≤t≤6，S的最大值为732；当6≤t≤8时，S的最大值为63；当8≤t≤10时，S的最大值为63；所以当t=8时，S有最大值为63．3．（1）由题知，直线y=34x与BC交于点D（x，3），把y=3代入y=34x中得，x=4，∴D（4，3）．（2）∵抛物线y=ax2+bx经过D（4，3），A（6，0）两点．把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中得，1643,3660.abab解之得3,89,4ab∴抛物线的解析式为：y=-38x2+94x．（3）因△POA底边OA=6，∴S△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点．∵a=-380，∴抛物线顶点恰为最高点．∵244acba=2394()0()8434()8=278．∴S的最大值=12×6×278=818．（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1，符合条件，∵CB∥OA，∠Q1OM=∠CDO∴Rt△Q1OM∽Rt△CDO，x=-2ba=3，该点坐标为Q1（3，0）．过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q2，∵对称轴平行于y轴∴∠Q2MO=∠DOC，∴Rt△Q2OM∽Rt△CDO．在Rt△Q2Q1O与Rt△DCO中，Q1O=CO=3，∠Q2=∠ODC，∴RtQ2Q1O≌Rt△DCO，∴CD=Q1Q2=4．∵点Q2位于第四象限，∴Q2（3，-4）．因此，符合条件的点有两个，分别是Q1（3，0），Q2（3，-4）4．（1）由题意，得09303abcabcc解之，得123abc∴y=-x2+2x+3（2）由（1）可知y=-（x）2+4∴顶点坐标为D（1，4）设其对称轴与x轴的交点为E∵S△AOC=12│AO│·│OC│=12×1×3=32S梯形OEDC=12（│DC│+│DE│）×│OE│=12（3+4）×1=72S△DEB=12│EB│·│DE│=12×2×4=4S四边形ABDC=S△AOC+S梯形OEDC+S△DEB=32+72+4=9（3）△DCB与△AOC相似．证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F∵D（1，4），∴Rt△DFC中，DC=2，且∠DCF=450167在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=32∴∠AOC=∠DCB=90°，DCBCAOCO=21∴△DCB∽△AOC考前热身训练1．（1）y=-1ax2+（1+1a）x（2）M（a，1），N（a+1，0）（3）∵ON=a+1，BM=│a-1│∴ON+BM=a+1+│a-1│=2(01)2(1)aaa∴当0a≤1时，ON+BM为常数又∵ON-BM=a+1-│1-a│=2(01)2(1)aaa∴当a≥1时，ON-BM为常数2．（1）设用A型车厢x节，则B型车厢（40-x）节，总运费为y万元，则y=0.6x+0.8（40-x）=-0.2x+32．（2）由题知3525(40)1240,1535(40)880,xxxx