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二元一次方程组(一)一、重点、难点1、二元一次方程及其解集(1)含有两个未知数，并且未知数项的次数是1的整式方程叫二元一次方程．(2)二元一次方程的解是无数多组．2、二元一次方程组和它的解(1)含有两个相同未知量的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．(2)使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解．3、二元一次方程组的解法(1)代入消元法：把其中的一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，就可以消去一个未知数．(2)加减消元法：先利用等式的性质，用适当的数同乘以需要变形的方程的两边，使两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等，然后把两个方程的两边分别相加或相减，就可以消去这个未知数．4、三元一次方程组及其解法(1)含有三个未知数，每个方程的未知数的次数都是1，并且是由三个方程组成的方程组叫做三元一次方程组．(2)解三元一次方程组的基本思想是用消元的方法把“三元”转化为“二元”(将未知问题转化为已知问题，再将“二元”转化为“一元”)．二、例题分析：例1:在方程2x-3y=6中，1)用含x的代数式表示y．2)用含y的代数式表示x．答案：1)y=x-2；2)x=3+y例2:已知x+y=0，且|x|=2，求y+2的值．解：∵|x|=2∴x=2,或x=-2又∵x+y=0∴y=-2,或y=2故y+2=0,或y+2=4例3：已知方程组的解是，求a与b的值分析：方程组的解就是适合原方程组，所以将代入方程可以得到关于a,b的新的方程。解：因为方程组的解是所以（1）×2得2a-4=2b(3)（3）-（2）得-5=2b-2∴b=-将b=-代入（1）得a=∴答案：a=,b=-例4：方程x+3y=10在正整数范围内的解有_____组，它们是________________。答案：3；例5：把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式为______．答案：3x-5y+17=0例6：已知关于x,y的方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2。当k=_____时，方程为一元一次方程，当k=_____时，方程为二元一次方程。分析：题目中没有规定未知数，所以x,y都可以。因此注意分两种可能。解：第一问∵关于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2为一元一次方程，∴（1）或（2）方程组（1）的解为k=-1,(2)无解∴当k=-1时原方程为一元一次方程第二问∵关于x,y的方程（k2-1）x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2为二元一次方程∴解得k=1∴当k=1时原方程为二元一次方程例7：二元一次方程组的解中x与y互为相反数，求a的值解：∵原方程组的解中x与y互为相反数∴x=-y（1）将（1）代入原方程组，得∴a=二元一次方程组（二）一、对应用题的观察和分析利用二元一次方程组解有关的应用题时，对应用题进行观察和分析，要着重注意如下三点：(1)题中有哪几个未知数(包括明显的未知数和隐含的未知数)？(2)题中的未知数与已知内容之间有哪几个相等关系(包括明显的相等关系和隐含的相等关系)？——题中有几个未知数，一般就要找出几个相等关系.(3)设立哪几个未知数，利用哪几个相等关系，可以较方便地把其余未知数用所设未知数的代数式表示出来？(利用剩下的等量关系列方程组.)二、常见几类应用题及其基本数量关系明确各类应用题中的基本数量关系，是正确列出方程的关键.常遇到的几类应用题及其基本关系如下：1.行程问题：基本关系式为:速度×时间=距离2.工程问题：基本关系式为:工作效率×工作时间=工作总量计划数量×超额百分数=超额数量计划数量×实际完成百分数=实际数量3.百分比浓度问题：基本关系式为:溶液×百分比浓度=溶质4.混合物问题：基本关系式为:各种混合物重量之和=混合后的总重量混合前纯物重量=混合后纯物重量混合物重量×含纯物的百分数=纯物的重量5.航行问题：基本关系式为:静水速度+水速=顺水速度静水速度-水速=逆水速度6.数字问题要注意各数位上的数字与数位的关系.7.倍比问题，要注意一些基本关系术语，如：倍、分、大、小等.三、例题精析如何分析应用题：例1.某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没有座位；若每辆汽车坐60人，则恰好空出一辆汽车，问共需几辆汽车，该单位有多少人？思考如下：（1）题目中的已知条件是什么？（2）“有人没有座位”是指什么意思？“有空座位”是指什么意思？3.基于上述分析，那么已知条件“每辆车坐45人，15人没有座位”可理解成什么？“每辆车坐60人，恰好空出一辆车”又可理解成什么？解：设该单位共有x辆车，y个人.依题意，得解这个方程组，得答：该单位共有5辆车，240人.例2.汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要延误小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前小时到达。求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的时间。思考问题：（1）路程、速度、时间三者关系是什么？（2）本题中的“延误”和“提前”都是以什么为标准的？（3）基于上述分析，那么已知条件“汽车每小时行使45千米，则要延误小时到达目的地”可理解成什么？已知条件“若每小时行驶50千米，就可以提前小时到达目的地”又可理解成什么？解：设甲、乙两地的距离为x千米，原计划行驶时间为y小时.依题意，得解这个方程组，得答：甲、乙两地间的距离是450千米，原计划行使时间为小时。例3.甲、乙两人在周长是400米的环形跑道上散步.若两人从同地同时背道而行，则经过2分钟就相遇.若两人从同地同时同向而行，则经过20分钟后两人相遇.已知甲的速度较快，求二人散步时的速度.(只列方程，不求出)分析：这个问题是环形线上的相遇、追及问题.其中有两个未知数：甲、乙二人各自的速度.有两个相等关系，即(1)背向而行：两次相遇间甲、乙的行程之和=400米；(2)同向而行：两次相遇间甲、乙的行程之差=400米.解：设甲人速度为每分钟x米，乙人速度为每分钟行走y米.依题意，得四、如何设未知数列方程解应用题的第一步是设未知数，设未知数的方法很多，有时可直接设所求量为未知数，有时应间接地设未知数，还有的时候需要增设辅助未知数.那么，如何巧设未知数，以达到迅速解题的目的呢？直接设所求量为未知数例1.A，B两地相距20千米.甲、乙两人分别从A，B两地同时相向而行，两小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有2千米.求甲、乙的速度.分析：这个问题是直线行驶中的相遇、追及问题.其中设两个未知数：甲、乙各自的速度，有两个相等关系.解：设甲人的速度是每小时行x千米，乙人的速度是每小时y千米.依题意，得解这个方程组，得合理选择，间接设元许多同学在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数.这种方法有时很难寻找已知量与未知量之间的相等关系.因此，我们应根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的.例2.从夏令营到学校，先下山然后走平路，某同学先骑自行车以每小时12千米的速度下山，而以每小时9千米的速度通过平路，到达学校共用55分钟，他回来的时候以每小时8千米的速度通过平路而以每小时4千米的速度上山回到夏令营用了1小时。从夏令营到学校有多少千米？分析：根据题设条件，若设山路长为未知数x，则由来回的平路长相等得方程：9；同样可设平路长为未知数，由来回山路长相等得方程12还可设山路长和平路长分别为x千米，y千米，由来回的时间关系建立二元一次方程组或设下山和上山的时间分别为x小时，y小时.由来回山路长和平路长分别相等得到二元一次方程组设而不求，巧用辅助量当应用题中涉及的量较多，各个量之间的关系又不明显时，可适当地增设辅助未知数，目的不是要具体地求出它们的值，而是以此作桥梁，沟通各个数量之间的关系，为列方程(组)创造条件.在解题过程中需将辅助未知数消去，以便求出所需未知数的值.例1.一客轮逆水行驶，船上一乘客掉了一件物品，浮在水面上，等乘客发现后，轮船立即掉头去追，已知轮船从掉头到追上共用5分钟，问乘客丢失了物品，是几分钟后发现的？解：设x分钟后发现掉了物品，船静水速为V1，水速为V2，由题意得(x＋5)V2＋x(V1-V2)＝5(V1＋V2)，xV2+5V2＋xV1-xV2＝5V1+5V2，xV1＝5V1，∵V1≠0，∴x＝5.答：乘客5分钟后发现掉了物品.注：这里的辅助未知数是V1和V2