高中数学函数解题技巧方法总结(高考)

硕彦教育高中数学函数知识点总结1.函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致(两点必须同时具备)2.求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，，，）022334函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且余切函数xycotkkxRx,,且反三角函数的定义域函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。3.如何求复合函数的定义域？的定，则函数，，的定义域是如：函数)()()(0)(xfxfxFabbaxf义域是_____________。（答：，）aa复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出x的范围，即为)(xgfy的定义域。例若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。分析：由函数)(xfy的定义域为2,21可知：221x；所以)(log2xfy中有2log212x。解：依题意知：2log212x解之，得42x∴)(log2xf的定义域为42|xx硕彦教育4、函数值域的求法1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.112..22222222bay型：直接用不等式性质k+xbxb.y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1例：y1+xx+xxmxncy型通常用判别式xmxnxmxnd.y型xn法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+11例：y（x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例求函数y=6543xx值域。5、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例求函数y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。硕彦教育222110112sin11|sin|||1,1sin22sin12sin1(1cos)1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy6、函数单调性法通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容例求函数y=25xlog31x（2≤x≤10）的值域7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例求函数y=x+1x的值域。8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，2,(2),2(,20,(1)的取值范围(2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.d为圆心到直线的距离,R为半径)(2)令y-2即也是直线ddyxxykykxxRdxbyxbR例求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段AB上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10硕彦教育当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10故所求函数的值域为：[10，+∞）例求函数y=1362xx+542xx的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22x+)10()2(22x上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin=∣AB∣=)12()23(22=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。注：求两距离之和时，要将函数9、不等式法利用基本不等式a+b≥2ab，a+b+c≥3abc3（a，b，c∈R），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例：33()13()32x(3-2x)(0x1.5)xx+3-2x=xx(3-2x)(应用公式abc时，应注意使3者之和变成常数）abc10.倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例求函数y=32xx的值域332(0)11113333222x=xx(应用公式a+b+c时，注意使者的乘积变成常数）xxxxxxabc硕彦教育2320121112202222012时，时，=00xyxxxxyyxxxyy多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。5.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：，求fxexfxx1().令，则txt10∴xt21∴ftett()2121∴fxexxx()212106.反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）如：求函数的反函数fxxxxx()1002（答：）fxxxxx1110()在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题：(2004.全国理)函数)1(11xxy的反函数是（B）A．y=x2－2x+2(x1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x1)D．y=x2－2x(x≥1)当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。下面请看一下我的思路：原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y=1.排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y=1,则反函数定义域为x=1,答案为B.硕彦教育我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。思路能不能明白呢？7.反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②保存了原来函数的单调性、奇函数性；③设的定义域为，值域为，，，则yf(x)ACaAbCf(a)=bf1()baffafbaffbfab111()()()()，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（04.上海春季高考）已知函数)24(log)(3xxf，则方程4)(1xf的解x__________.8.如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1)定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()fxfxxx的正负号或者12()()fxfx与1的关系(2)参照图象：①若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）②若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）(3)利用单调函数的性质：①函数f(x)与f(x)＋c(c是常数)是同向变化的②函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c＞0时，它们是同向变化的；当c＜0时，它们是反向变化的。③如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)＋f2(x)和它们同向变化；（函数相加）④如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）⑤函数f(x)与1()fx在f(x)的同号区间里反向变化。⑥若函数u＝φ(x)，x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递增的；若函数u＝φ(x),x[α，β]与函数y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ(x)]是递减的。（同增异减）⑦若函数y＝f(x)是严格单调的，则其反函数x＝f－1(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。f(g)g(x)f[g(x)]f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正数增增增增增增减减//减增减//减减增减减硕彦教育如：求的单调区间yxxlog1222（设，由则uxxux22002且，，如图：log12211uuxuO12x当，时，，又，∴xuuy(]log0112当，时，，又，∴xuuy[)log1212∴……）9.如何利用导数判断函数的单调性？在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxfx'()()0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx'()0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大afxxaxa013()值是（）A.0B.1C.2D.3（令fxxaxaxa'()333302则或xaxa33由已知在，上为增函数，则，即fxaa()[)1313∴a的最大值为3）10.函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxfxfx()()()若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxfxfxy()()()注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0