(整理)02第二节可分离变量的微分方程.

精品文档精品文档第二节可分离变量的微分方程微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同.从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法.本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.分布图示★可分离变量微分方程★例1★例2★例3★例4★例5★例6★齐次方程★例7★例8★例9★例10★例11★可化为齐次方程的微分方程★例12★例13★例14★例15★内容小结★课堂练习★习题8-2内容要点一、可分离变量的微分方程设有一阶微分方程),(yxFdxdy,如果其右端函数能分解成)()(),(xgxfyxF，即有)()(ygxfdxdy.(2.1)则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(xgxf都是连续函数.根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解.求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法.二、齐次方程：形如xyfdxdy(2.8)的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程..三、可化为齐次方程的方程：对于形如222111cybxacybxafdxdy的方程，先求出两条直线,0111cybxa0222cybxa的交点),(00yx，然后作平移变换精品文档精品文档00yyYxxX即00yYyxXx这时，dXdYdxdy，于是，原方程就化为齐次方程,2211YbXaYbXafdXdY例题选讲可分离变量的微分方程例1（E01）求微分方程xydxdy2的通解.解分离变量得xdxydy2两端积分得xdxydy212||lnCxy从而2112xCCxeeey,记,1CeC则得到题设方程的通解.2xCey例2（E02）求微分方程ydydxyxydydx2的通解.解先合并dx及dy的各项,得dxydyxy)1()1(2设,01,012xy分离变量得dxxdyyy1112两端积分dxxdyyy1112得||ln|1|ln|1|ln2112Cxy于是2212)1(1xCy记,21CC则得到题设方程的通解.)1(122xCy注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中,我们在假定0)(yg的前提下,用它除方程两边,这样得到的通解,不包含使0)(yg的特解.但是,有时如果我们扩大任意常数C的取值范围,则其失去的解仍包含在通解中.如在例2中，我们得到的通解中应该0C，但这样方程就失去特解1y，而如果允许0C，则1y仍包含在通解22)1(1xCy中.例3已知,tan2cos)(sin22xxxf当10x时，求).(xf解设,sin2xy则,21sin212cos2yxx.1sin1sincossintan22222yyxxxxx精品文档精品文档所以原方程变为,121)(yyyyf即.112)(yyyf所以)(yfyy112dy2y,)1ln(Cy故Cxxxf)]1ln([)(2).10(x例4设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律.解设物体的温度T与时间t的函数关系为),(tTT在上节的例1中我们已经建立了该问题的数学模型:100|)20(0tTTkdtdT)2()1(其中)0(kk为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得;20kdtTdT两边积分,201kdtdTT得1|20|lnCktT(其中1C为任意常数)，即ktktCCktCeeeeT1120(其中1CeC).从而,20ktCeT再将条件(2)代入,得,8020100C于是，所求规律为.8020kteT注：物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决，等等.例5（E03）在一次谋杀发生后，尸体的温度按照牛顿冷却定律从原来的37℃开始下降，假设两个小时后尸体温度变为35℃，并且假定周围空气的温度保持20℃不变，试求出尸体温度T随时间t的变化规律。又如果尸体被发现时的温度是30℃，时间是下午4点整，那么谋杀是何时发生的?解根据物体冷却的数学模型，有.37)0(0),20(TkTkdtdT其中0k是常数，分离变量并求解得ktCeT20，代入初值条件37)0(T，可求得17C，于是得该初值问题的解为kteT1720。为求出k值，根据两小时后尸体温度为35℃这一条件，由精品文档精品文档2172035ke，求得063.0k，于是温度函数为teT063.01720，将30T代入上式求解t，有te063.01710，即得4.8t（小时）。于是，可以判定谋杀发生在下午4点尸体被发现前的8.4小时，即8小时24分钟，所以谋杀是在上午7点36分发生的。例6（E04）某公司t年净资产有)(tW(百万元),并且资产本身以每年5%的速度连续增长,同时该公司每年要以300百万元的数额连续支付职工工资.(1)给出描述净资产)(tW的微分方程;(2)求解方程,这时假设初始净资产为;0W(3)讨论在700,600,5000W三种情况下,)(tW变化特点.解(1)利用平衡法，即由净资产增长速度＝资产本身增长速度－职工工资支付速度得到所求微分方程.3005.0WdtdW(2)分离变量，得.05.0600dtWdW两边积分，得11(ln05.0|600|lnCCtW为正常数），于是,|600|05.01teCW或).(600105.0CCCeWt将0)0(WW代入，得方程通解：.)600(60005.00teWW上式推导过程中,600W当600W时，0dtdW知,)600(60005.00teWW,6000WW通常称为平衡解，仍包含在通解表达式中.(3)由通解表达式可知，当5000＝W百万元时，净资产额单调递减，公司将在第36年破产；当6000＝W百万元时，公司将收支平衡，将资产保持在600百万元不变；当7000＝W百万元时，公司净资产将按指数不断增大.精品文档精品文档齐次方程例7（E05）求解微分方程xyxydxdytan满足初始条件61xy的特解.解题设方程为齐次方程,设,xyu则,dxduxudxdy代入原方程得,tanuudxduxu分离变量得.1cotdxxudu两边积分得||ln||ln|sin|lnCxu,sinCxu将xyu回代，则得到题设方程的通解为.sinCxxy利用初始条件,6/|1xy得到.21C从而所求题设方程的特解为.21sinxxy例8求解微分方程.2222xyydyyxyxdx解原方程变形为2222yxyxxyydxdy,1222xyxyxyxy令,xyu则,dxduxudxdy方程化为,1222uuuudxduxu分离变量得112212121uuuu,xdxdu两边积分得,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu整理得.)2(12/3Cxuuu所求微分方程的解为.)2()(32xyCyxy例9（E06）求解微分方程.22dxdyxydxdyxy解原方程变形为22xxyydxdy,12xyxy（齐次方程）令,xyu则,uxy,dxduxudxdy故原方程变为,12uudxduxu即.1uudxdux分离变量得u11.xdxdu两边积分得||ln||lnxCuu或.||lnCuxu精品文档精品文档回代,xyu便得所给方程的通解为.||lnCxyy例10求下列微分方程的通解:.0)ln(lnydxdyyxx解原方程变形为,0lndxxydyxy令,xyu则,dxduudxdy代入原方程并整理.)1(lnlnxdxduuuu两边积分得,lnln)1ln(lnlnCxuu即).1(lnuCy变量回代得所求通解Cy.1lnxy例11设商品A和商品B的售价分别为,,21PP已知价格1P与2P相关,且价格1P相对2P的弹性为,12122112PPPPdPPdPP求1P与2P的函数关系式.解所给方程为齐次方程，整理，得.1121212121PPPPPPdPdP令,21PPu则.1122uuudPduPu分离变量，得;211222PdPduuu两边积分，得.)ln(ln1221PCuu将21PPu回代，则得到所求通解(即1P与2P的函数关系式)212212(12CCCPePPPP为任意正常数).可化为齐次方程的方程例12（E07）求31yxyxdxdy的通解.解直线01yx和直线03yx的交点是),2,1(因此作变换.2,1YyXx代入题设方程,得精品文档精品文档YXYXdXdYXYXY11令,XYu则,uXY,dXduXudXdY代入上式,得,11uudXduXu分离变量,得,ln||ln21112CXduuuu两边积分,得12ln||ln|21|ln21CXuu即XYu回代得,222CYXYX再将,1xX2yY回代，并整理所求题设方程的通解.62222Cyxyxyx例13（E08）利用变量代换法求方程2)(yxdxdy的通解.解令,uyx则,1dxdudxdy代入原方程得,12udxdu分离变量得,12dxudu两边积分得,arctanCxu回代得,)arctan(Cxyx故原方程的通解为.)tan(xCxy例14求微分方程)2(tan212yxy的通解.解令,2yxu则,21dxdydxdu代入原方程得udxdu2tan21121,tan12udxdu即.sec2udxdu分离变量得dxudu2sec或.22cos1dxduu两端积分得,2sin2121Cxuu即,)2(21)]2(2sin[41Cxyxyx故所求通解为).42sin(412yxCxy例15求下列微分方程的通解..222222xxyxeyyxyx解令,22yxu则,22dxdyyxdxdu原方程化为.xuedxduxu精品文档精品文档再令,xuv则,dxdvxvdxdu代入上式，并整理得,xdxdvev两边积分得,lnCxev变量还原得通解.ln22Cxexyx课堂练习1.求微分方程0)1()1(22dyxydxyx的通解.2.求微分方程2cos2cosyxyxdxdy的通解.3.方程)()()(2022xxydttyttyx是否为齐次方程?