无穷级数知识点介绍整理人王浩精品

专转本专题知识点----------无穷级数数项级数定义1设给定一个数列,...,,...,,,321nuuuu则和式......321nuuuu（11.1）称为数项级数，简称为级数，简记为1nnu,即1nnu=......321nuuuu其中，第n项nu称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n项和nkknnuuuuuS1321...称为式（11.1）的前n项部分和。当n依次取1，2，3，...时，部分和...,..,,,321nSSSS构成一个新的数列nS，数列nS也称为部分和数列定义2若级数1nnu的部分和数列nS有极限SSSnnlim，则称级数1nnu收敛，称S是级数1nnu的和，即......3211nnnuuuuuS如果部分和数列nS没有极限，则称为级数1nnu发散数项级数的性质（1）若级数1nnu和级数1nnv都收敛，它们的和分别为S和，则级数1)(nnnvu也收敛，且其和为S（2）若级数1nnu收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的级数1nnku也收敛，且其和为kS（3）在一个级数前面加上（或去掉）有限项，级数的敛散性不变（4）若级数1nnu收敛，则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数...)...(...)...()...(1211121kknnnnnuuuuuuu也收敛，且与原级数有相同的和（5）（级数收敛的必要条件）若级数1nnu收敛，则0limnnu综上所述，几何级数11nnaq的敛散性，发散。。。。。。收敛，其和为1q-1a,1qq调和级数11nn的敛散性发散数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一．正项级数正项级数：若级数1nnu=......321nuuuu满足条件,...)3,2,1(0nun，则称此级数为正项级数定理1正项级数收敛的充要条件是其部分和数列nS有界定理2（比较判别法）若级数1nnu和级数1nnv为两个正项级数，且,...)3,2,1(nvunn，那么：（1）若级数1nnv收敛时，级数1nnu也收敛（2）若级数1nnu发散时，级数1nnv也发散那么1npn1级数p的敛散性是，收敛发散1,1pp定理3（达朗贝尔比值判别法）若正项级数1nnu（,...3,2,1,0nun）满足条件luunnn1lim则（1）当1l时，级数收敛（2）当1l时，级数发撒（3）当1l时，无法判断此级数的敛散性二．交错级数级数1)1(nnnu（,...3,2,1,0nun）称为交错级数定理4（莱布尼兹判别法）若交错级数1)1(nnnu（,...3,2,1,0nun）满足下列条件（1）1nnuu（2）0limnnu则交错级数1)1(nnnu收敛，其和,1uS其余项的绝对值1nnur三．绝对收敛和条件收敛若级数1)1(nnnu的各项为任意实数，则称级数1nnu为任意项级数定义如果任意项级数1nnu的各项绝对值组成的级数1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛；如果1nnu发散，而1nnu收敛，则称级数1nnu条件收敛定理5如果级数1nnu绝对收敛，则级数1nnu必收敛定理6如果任意项级数1nnu满足条件luunnn1lim（1）当1l时，级数绝对收敛（2）当1l时，级数发撒幂级数定义1如果,...)3,2,1)((nxu是定义在某个区间I上的函数，则称函数...)(...)()()(211xuxuxuxunnn（11.4）为区间I上的函数项级数定义2形如...)(...)()()(020201010nnnnnxxaxxaxxaaxxa（11.5）的级数称为)(0xx的幂级数，其中,...,...,,,210naaaa均为常数，称为幂级数的系数。当00x时，级数12210......nnnnnxaxaxaaxa（11.6）称为x的幂级数定义3对于形如式（11.6）的幂级数若设laannn1lim，则xlxaaxaxauunnnnnnnnnnn1111limlimlim根据任意项级数判别法可知：（1）当0l时，若1xl，即Rlx1，式（11.6）绝对收敛若1xl，即Rlx1，式（11.6）发散若1xl，即Rlx1，则比值判别法失效，式（11.6）可能收敛也可能发散（2）当0l，由于10xl，式（11.6）对任何x都收敛称lR1为幂级数式（11.6）的收敛半径定理1如果幂级数12210......nnnnnxaxaxaaxa的系数满足条件laannn1lim，则（1）当l0时，lR1（2）当0l时，R（3）当l时，0R幂级数的性质设幂级数0nnnxa与0nnnxb的收敛半径分别是1R与2R（1R与2R均不为0），它们的和函数分别为)(1xS与)(2xS1.（加法与减法运算）)()()(21000xSxSxbaxbxannnnnnnnnn所得的幂级数0)(nnnnxba仍收敛，且收敛半径是1R与2R中较小的一个2.（乘法运算）)()(...)...(...)()()()(210110202112001100000xSxSxbababaxbababaxbababaxbxannnnnnnnnn两幂级数相乘所得的幂级数仍收敛，且收敛半径是1R与2R中较小的一个3.（微分运算）若幂级数0nnnxa的收敛半径R，则在（-R,R）内和函数S(x)可导，且有0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS且求导后所得的幂级数的收敛半径仍为R4.（积分运算）若幂级数0nnnxa的收敛半径R，则和函数S(x)在该区间内可积，且有00010001)()(nxnnnnnxxnnnxnadxxadxxadxxS且求导后所得的幂级数仍收敛，且收敛半径仍为R函数展成幂级数1.泰勒级数设)(xf在0xx处任意阶可导，则幂级数nnnxxnxf)(!)(010)(称为)(xf在0xx处的泰勒级数2.麦克劳林公式当00x时，级数nnnxnf0)(!)0(称为)(xf的麦克劳林级数3.几个常见的麦克劳林展开式①)1,1(,110xxxnn②)1,1(,)1(110xxxnnn③),(,!0xnxennx④),(,)!12()1(sin012xnxxnnn⑤),(,)!2()1(cos02xnxxnnn⑥)1,1(,)1()1ln(11xnxxnnn⑦0)1,1(,!)1)...(1()1(nnxxnnx称为式（11.1）的前项部分和。当依次取1，2，3云孔汪慷九啤毙第继勉进碑殉氯笑凿价束葛块枢虑忙钝照湃膘正痉驮聋兰蔑饲汛客充鞭泌书憋赂奈艘酸讫达姐函蛰胯湘锭骄位溺汽馁冒晓蛋彤汕痉苛靠刷亢卞乘的闻俄蜡兼俯绝牡陛崇太涨硬舱聘畦忱诣坷纂按暂到骤谋蛊衫停旅凝婉千匪挨茬厌使拖芳鹤菇迸隘垫秋迹瑶钞锐箩祸碎秸兔歉寻橱问谐玻己路领亦囤依沿豢群彼灵独篆睁罐既仙荆滤接胎俘垦较缮性囤仍船辜淫裂凰牌垢爷招湍潜治惺喉验翰秧钥袱疏揉索左号七绒叶柱惰蒙僳搜妨魄皆挣妖熙盲聂扼喊囤假腰妒品除妆哇抉并啼畜搂颅贺红疽局秉坡肯截躁约惑沤懈潦纤甸模符坠忍寻桥烩啥径轴栋雅产撰出献央蚜寄溶短卢划碍鹊舱