导数与函数压轴题之双变量问题归纳总结教师版

导数与函数之双变量问题归纳总结类型一：齐次划转单变量例1：已知函数1ln1axfxxx2a.设,mnR，且mn，求证lnln2mnmnmn.解：设mn，证明原不等式成立等价于证明2lnmnmmnn成立，即证明21ln1mmnmnn成立.令mtn，1t，即证21ln01tgttt.由（1）得，gt在0,上单调递增，故10gtg，得证.变式1：对数函数xf过定点21,eP，函数为常数m,nxfmnxg，的导函数为其中xfxf.（1）讨论xg的单调性；（2）若对于,x0有mnxg恒成立，且nxxgxh2在2121xxx,xx处的导数相等，求证：22721lnxhxh.解：（2）因为1gnm，而0,x有1gxnmg恒成立，知gx当1x时有最大值1g，有（1）知必有1m.∴11ln,22ln,gxnxhxgxxnxxxx依题意设211122221120,1120kxxhxhxkkxx∴12111xx12121212+=24xxxxxxxx∴121212121212112+lnln21lnhxhxxxxxxxxxxx令124,21lntxxttt，1204ttt∴t在4t单调递增，∴472ln2t类型二：构造相同表达式转变单变量例2：已知,mn是正整数，且1mn，证明11.nmmn解：两边同时取对数，证明不等式成立等价于证明ln1ln1nmmn，即证明ln1ln1mnmn，构造函数ln1xfxx，2ln11xxxfxx，令ln11xgxxx，22110111xgxxxx，故00gxg，故0fx，结合1,mn知fmfn类型三：方程消元转单变量例3：已知lnxfxx与gxaxb，两交点的横坐标分别为1,2xx，12xx，求证：12122xxgxx解：依题意11211112222222lnlnlnlnxaxbxxaxbxxxaxbxaxbx，相减得：12121212lnlnxxaxxxxbxx，化简得121212lnxxaxxbxx，112121121212121122221lnln1xxxxxxxxgxxxxaxxbxxxxxx设12xx，令121xtx，12122112ln2ln011ttxxgxxtttt再求导分析单调性即可.变式1：已知函数1axxlnxf有两个零点21x,x.10a（2）记xf的极值点为0x，求证：0212xefxx.变式2：设函数3211232xfxexkxkx.若fx存在三个极值点123,,xxx，且123xxx，求k范围，证明1322xxx.变式3：已知函数122ln21xefxaxxx在定义域0,2内有两个极值点.（1）求实数a的取值范围；（2）设12,xx是fx两个极值点，求证12lnlnln0xxa.类型四：利用韦达定理转单变量例4：已知21ln02fxxxaxa，若fx存在两极值点1,2xx，求证：1232ln24fxfx.解：21,axxafxxxx由韦达定理12121,xxxxa1140,4aa212121212121+2ln2fxfxxxxxxxaxx11121lnln22aaaaaa令11ln,0,ln024gaaaaagaa，ga在10,4上单调递减，故132ln244gag.变式1:已知函数.Ra,xaxxlnxf22（2）若n,m是函数xf的两个极值点，且nm，求证：.mn1方法二：变式2：已知函数213ln222fxxaxx0a.（1）讨论函数fx的极值点个数；（2）若fx有两个极值点12,xx，证明110fxfx.