巴特沃斯高通数字滤波器的设计

课程设计任务书2010—2011学年第一学期专业：通信工程学号080110008姓名：朱亮亮课程设计名称：数字信号处理课程设计设计题目：巴特沃斯高通数字滤波器的设计完成期限：自2011年1月3日至2011年1月9日共1周一．设计目的1．巩固所学的理论知识。2．提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力。3．更好地将理论与实践相结合。4．掌握信号分析与处理的基本方法与实现。5．熟练使用MATLAB语言进行编程实现。二．设计内容已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为16131.24142.36131.21234sssssHa，编写MATLAB程序实现从sHa设计3dB截止频率为2cw的四阶高通巴特沃斯数字滤波器。三．设计要求1、设采样周期为sT1，用双线性变换法进行设计；2、绘出滤波器的的幅频响应曲线并分析所得结果是否满足技术指标。四．设计条件计算机、MATLAB语言环境五、参考资料[1]《数字信号处理》（第三版），丁玉美，高西全.西安电子科技大学出版社，2000.[2]《MATLAB及在电子信息课程中的应用》，陈怀堔，吴大正，高西全.电子工业出版社，2006.[3]《MATLAB7.0从入门到精通》，求是科技.人民邮电出版社，2006.[4]《数字信号处理（第三版）》学习指导，高西全，丁玉美.西安科技大学出版社，2001.指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月日摘要本篇论文叙述了数字滤波器的基本原理、IIR数字滤波器的设计方法和IIR数字高通滤波器设计在MATLAB上的实现与IIR数字滤波器在实际中的应用。无限脉冲响应（IIR）数字滤波器是冲激响应函数th包含无限个抽样值的滤波器，一般是按照预定的模拟滤波器的逼近函数来转换成相应的数字滤波器，现有的逼近函数如巴特沃斯、切比雪夫。设计IIR数字滤波器在工程上常用的有两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。其设计过程都是由模拟滤波器的系统函数sH去变换出相应的数字滤波器的系统函数zH关键词：数字滤波器；MATLAB；巴特沃斯；切比雪夫；双线性变换法目录1课题描述.....................................................................................................................12设计原理.....................................................................................................................12.1IIR数字滤波器设计原理................................................................................12.2巴特沃斯低通滤波器的原理...........................................................................22.3双线性变换法...................................................................................................43设计过程.....................................................................................................................64结果分析.....................................................................................................................9总结........................................................................................................................10参考文献......................................................................................................................11课程设计说明书第1页共11页1课题描述数字滤波器是数字信号处理的基础，用来对信号进行过滤、检测与参数估计等处理，在通信、图像、语音、雷达等许多领域都有着十分广泛的应用。尤其在图像处理、数据压缩等方面取得了令人瞩目的进展和成就。鉴于此，数字滤波器的设计就显得尤为重要。目前数字滤波器的设计有许多现成的高级语言设计程序，但他们都存在设计效率较低，不具有可视图形，不便于修改参数等缺点，而MATLAB为数字滤波的研究和应用提供了一个直观、高效、便捷的利器。他以矩阵运算为基础，把计算、可视化、程序设计融合到了一个交互式的工作环境中。尤其是MATLAB工具箱使各个领域的研究人员可以直观方便地进行科学研究与工程应用。其中的信号处理工具箱、图像处理工具箱、小波工具箱等更是为数字滤波研究的蓬勃发展提供了可能。本文主要通过双线性法将所给低通巴特沃斯模拟滤波器按照所需的技术指标变换成高通数字滤波器，并基于MATLAB环境完成对IIR数字滤波器的设计，然后将设计结果应用于图像处理，针对处理结果进一步分析了滤波器性能的优劣。2设计原理2.1IIR数字滤波器设计原理IIR数字滤波器的设计一般是利用目前已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计，通常采用模拟滤波器原型有butterworth函数、chebyshev函数、bessel函数、椭圆滤波器函数等。IIR数字滤波器的设计步骤：①按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；②根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器；课程设计说明书第2页共11页③跟据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器；④如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。2.2巴特沃斯低通滤波器的原理①巴特沃斯低通滤波器的原理：巴特沃斯滤波器的特点是同频带的频率响应去想最平滑，如下图所示图2.1一级巴特沃斯低通滤波器的波得图图2.2一级至五级巴特沃斯低通滤波器课程设计说明书第3页共11页②巴特沃斯滤波器的特性：巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界见频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频20分贝，二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶的衰减率为每分贝18分贝，如此类推，巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且滤波器的结束越高，在组频带振幅衰减速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。NcssHsH)(11)()(22上述函数的特点是等距离分布在半径为的圆上。因此，极点用下式表示为Nkjjckees)12(21,2,1,0Nk)(sHa的表示式：10)()(NkkncasssH为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用3dB截止频率c归一化，归一化后的系统函数为10)(1)(NkckccasssG令ccsjp,,称为归一化频率，p称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为课程设计说明书第4页共11页10)(1NkkappG式中，cksp，为归一化极点，用下式表示:)21221(Nkjkep1,2,1,0Nk然后将巴特沃斯滤波器转换成高通滤波器，转换公式如下：sphp/p在p平面与s平面虚轴上的频率关系为：php其中，ph为希望设计的高通滤波器)(sHHP的通带边界频率。spHPphppGsH/)()(2.3双线性变换法双线性变换法是将s平面压缩变换到某一中介1s平面的一条横带里，再通过标准变换关系)*1exp(Tsz将此带变换到整个z平面上去，这样就使s平面与z平面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。为了将s平面的j轴压缩到1s平面的1j轴上的Tpi到Tpi一段上，可以通过以下的正切变换来实现：)21tan(21TT这样当1由Tpi经0变化到Tpi时，由经过0变化到，也映射到了整个j轴。将这个关系延拓到整个s平面和1s平面，则可以得到TsTseeTTsTs11112)21tan(2再将1s平面通过标准变换关系映射到z平面，即令)*1exp(Tsz得到课程设计说明书第5页共11页11112zzTs同样对z求解，得到sTsTz22这样的变换叫做双线性变换。为了验证这种映射具有s平面的虚轴映射到z平面单位圆上的特性，考虑js,jez，得jjeeTj11221tan2T除了使s平面的虚轴映射到单位圆上之外，s平面的左半部分映射到单位圆的内部，s平面的右半部分映射到单位圆的外部。如图所示图2.3双线性变化映射关系示意图观察式子sTsTz22，发现s的实部为负时，因子sTsT22的幅度小于1，相当于单位圆的内部。反之，当s的实部为负时，该比值的幅度大于1，相当于单位圆的外部。这样就可以看出使用双线性变换可从稳定的模拟滤波器得到稳定的数字滤波器。双线性变换法还避免了使用脉冲响应不变法所遇到的混叠问题，因为它把s平面的这个虚轴映射到z平面的单位圆上。然而，付出的代价是在频率轴上引入了失真。因此，只有当能容忍或补偿这种失真时，使用双线性变换法设计数字滤波器的方法才是实用的。仅在零频率附近时与之间的频率变换关系接近于课程设计说明书第6页共11页线性关系，所产生的数字滤波器的幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应有畸变。对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以校正，也就是将临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率上。通过21tan2T的关系变换成一组模拟频率。图2.4双线性变化法的频率关系为了克服冲击响应不变法产生的频率混叠现象，我们需要使s平面与z平面建立一一对应的单值关系，即求出)(zfs，然后将其代入)(sG就可以求得)(zH，即)()()(zfssGzH3设计过程步骤一：将设计内容题所给归一化巴特沃斯低通滤波器以3dB截止频率为2cw转化为高通模拟滤波器。0000.169048,206568.132262.51)(234sssssHa课程设计说明书第7页共11页步骤二：用双线性变化法将高通模拟滤波器)(sHa变换为高通数字滤波器)(zH421210177.04860.010940.03759.05639.03759.00940.0)(zzzzzzH设计程序如下：clearall;clc;closeallT=1;fs=1/T;N=4;wc=pi/2;omegach=2*tan(wc/2)/T;M=1;N=[1,2.6131,3.4142,2.6131,1][h,w]=freqs(M,N,512);%模拟滤波器的幅频响应subplot(2,1,1);plot(w,20*log10(abs(h)));grid;axis([0,10,-90,0])xlabe