傅里叶级数知识点整理(精简版)--

陈东阳注意：当f(x)在[-π,π]上表达式不一致时，需将积分分割傅里叶级数知识点整理1.将函数f(x)展开成幂级数的条件：（1）函数连续,并且还要函数具有任意阶的导数.（2）它的余项极限为0.2.将函数f(x)傅里叶展开的条件：只要求函数连续，即便不连续，允许只有有限个第一类间断点（跳跃、可去左右极限均存在）.3.三角级数：（1）通式：（2）三角函数系：1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,….,cosnx,sinnx,……（3）三角函数系的正交性：三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间[-π,π]上的积分等于零.）和差证明k不等于n，可用积化（0coscosnxdxkx4.将函数傅里叶展开的方法：公式法10)sincos(2)(fnnnnxbnxaaxdxxfa)(10,...)3,2,1(cos)(1nnxdxxfan,...)3,2,1(sin)(1nnxdxxfbn5.狄利克雷定理：设f(x)是周期为2π的周期函数,如果它满足:(1)在一个周期内连续或只有有限个第1类间断点;(2)在一个周期内至多只有有限个极值点.则f(x)的傅立叶级数收敛于)]0()0([21xfxf当x是f(x)的连续点时,级数收敛于该点函数值;当x是f(x)的间断点时,级数收敛于左极限与右极限的算术平均值10)sincos(2nnnnxbnxaa陈东阳6.周期延拓：f(x)只在[-π,π]上有定义,并满足狄里克雷充分条件，可扩大定义域，使f(x)拓广为周期为2π的周期函数F(x).7.奇偶函数的傅里叶级数：f(x)为奇函数时,余弦系数为0,正弦系数为半区间上积分的两倍0na0sin)(2nxdxxfbnn=0,1,2……f(x)为偶函数时,正弦系数为0,余弦系数为半区间上积分的两倍0cos)(2nxdxxfan0nbn=0,1,2……8.函数展开成正余弦级数(1).奇偶延拓:奇延拓：f(x)在[0,π]上满足狄里克雷条件,在(-π,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-π,π]上的奇函数F(x),,称此种拓广函数定义域的过程为奇延拓.偶延拓：f(x)在[0,π]上满足狄里克雷条件,在(-π,0)内补充f(x)的定义,得到定义在(-π,π]上的偶函数F(x),,称此种拓广函数定义域的过程为偶延拓.(2).F(x)展开成正余弦级数正弦级数：把奇延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x)的正弦级数.余弦级数：把偶延拓后的函数F(x)展开为傅立叶级数,即为F(x)的余弦级数.(3).f(x)的正余弦级数展开式:正弦级数展开式：限制x在(0,π]上,此时F(x)≡f(x),F(x)的正弦级数展开式在此范围内即为f(x)的正弦级数的展开式.余弦级数展开式：限制x在(0,π]上,此时F(x)≡f(x),F(x)的余弦级数展开式在此范围内即为f(x)的余弦级数的展开式.(4)注：同样的函数,进行奇延拓和偶延拓,情况是不同的.但在(0,π)区间函数值是一样的9.常见级数的值：（了解）.......5141312112222(62))8.......(..........513112221...............6141212222(242)........51413121122223(122)