高中三角函数及解三角形知识点总结(高考复习)

-1-三角函数§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角a终边相同的角的集合：{}Zkk∈+=,2pabb.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl=a.3、弧长公式：RRnlap==180.4、扇形面积公式：lRRnS213602==p.§1.2.1、任意角的三角函数1、设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()yxP,，那么：xyxy===aaatan,cos,sin2、设点(),Axy为角a终边上任意一点，那么：（设22rxy=+）sinyra=，cosxra=，tanyxa=，cotxya=3、asin，acos，atan在四个象限的符号§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cossin22=+aa.2、商数关系：aaacossintan=.3、倒数关系：tancot1aa=§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Zk∈）1、诱导公式一：()()().tan2tan,cos2cos,sin2sinapaapaapa=+=+=+kkk（其中：Zk∈）2、诱导公式二：()()().tantan,coscos,sinsinaapaapaap=+-=+-=+3、诱导公式三：()()().tantan,coscos,sinsinaaaaaa-=-=--=-4、诱导公式四：()()().tantan,coscos,sinsinaapaapaap-=--=-=-5、诱导公式五：.sin2cos,cos2sinaapaap=⎟⎠⎞⎜⎝⎛-=⎟⎠⎞⎜⎝⎛-6、诱导公式六：.sin2cos,cos2sinaapaap-=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sinyx=在[0,2]xp∈上的五个关键点为：30010-12022pppp（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx-2-§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：y=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx2、记住余切函数的图象：y=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysin=xycos=xytan=图象定义域RR},2|{Zkkxx∈+≠pp值域[-1,1][-1,1]R最值maxmin2,122,12xkkZyxkkZypppp=+∈==-∈=-时，时，maxmin2,12,1xkkZyxkkZyppp=∈==+∈=-时，时，无周期性p2=Tp2=Tp=T奇偶性奇偶奇单调性Zk∈在[2,2]22kkpppp-+上单调递增在3[2,2]22kkpppp++上单调递减在[2,2]kkppp-上单调递增在[2,2]kkppp+上单调递减在(,)22kkpppp-+上单调递增对称性Zk∈对称轴方程：2xkpp=+对称中心(,0)kp对称轴方程：xkp=对称中心(,0)2kpp+无对称轴对称中心,0)(2kp3§1.5、函数()jw+=xAysin的图象1、对于函数：()()sin0,0yAxBAwfw=++有：振幅A，周期2Tpw=，初相j，相位jw+x，频率pw21==Tf.2、能够讲出函数xysin=的图象与()sinyAxBwj=++的图象之间的平移伸缩变换关系.①先平移后伸缩：sinyx=平移||j个单位()sinyxj=+（左加右减）横坐标不变()sinyAxj=+纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变()sinyAxwj=+横坐标变为原来的1||w倍平移||B个单位()sinyAxBwj=++（上加下减）②先伸缩后平移：sinyx=横坐标不变sinyAx=纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变sinyAxw=横坐标变为原来的1||w倍平移jw个单位()sinyAxwj=+（左加右减）平移||B个单位()sinyAxBwj=++（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()yxwj=+，x∈R及函数cos()yxwj=+，x∈R(A,w,j为常数，且A≠0)的周期2||Tpw=；函数tan()yxwj=+，,2xkkZpp≠+∈(A,ω,j为常数，且A≠0)的周期||Tpw=.对sin()yAxwj=+和cos()yAxwj=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数sin()yAxwj=+图像的对称轴与对称中心，只需令()2xkkZpwjp+=+∈与()xkkZwjp+=∈解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：maxmin2yyA-=，maxmin2yyB+=.w要根据周期来求,j要用图像的关键点来求.三角恒等变换§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：aasinacosatan12p426-426+32-§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、()bababasincoscossinsin+=+2、()bababasincoscossinsin-=-43、()bababasinsincoscoscos-=+4、()bababasinsincoscoscos+=-5、()tantan1tantantanababab+-+=.6、()tantan1tantantanababab-+-=.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、aaacossin22sin=，变形：12sincossin2aaa=.2、aaa22sincos2cos-=1cos22-=aa2sin21-=.变形如下：升幂公式：221cos22cos1cos22sinaaaa⎧+=⎪⎨-=⎪⎩降幂公式：221cos(1cos2)21sin(1cos2)2aaaa=+=-⎧⎪⎨⎪⎩3、aaa2tan1tan22tan-=.4、sin21cos2tan1cos2sin2aaaaa-==+§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cossin22j++=+=xbaxbxay（其中辅助角j所在象限由点(,)ab的象限决定,tanbaj=).解三角形1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin===.（其中R为ABCΔ外接圆的半径）2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRC⇔===sin,sin,sin;222abcABCRRR⇔===::sin:sin:sin.abcABC⇔=2、余弦定理：2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbacacBcababC⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos,2cos,2cos.2bcaAbcacbBacabcCab⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩3、三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21===Δ4、三角形内角和定理：在△ABC中，有()ABCCABpp++=⇔=-+222CABp+⇔=-222()CABp⇔=-+.5、一个常用结论：在ABCΔ中，sinsin;abABAB⇔⇔若sin2sin2,.2ABABABp==+=则或特别注意，在三角函数中，sinsinABAB⇔不成立。