(整理)基本不等式知识点归纳

--------------------------基本不等式知识点归纳1．基本不等式2baab(1)基本不等式成立的条件：.0,0ba(2)等号成立的条件：当且仅当ba时取等号．[探究]1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当ba时，abba2取等号，即.2abbaba②仅当ba时，abba2取等号，即.2baabba2．几个重要的不等式).0(2);,(222abbaabRbaabba),(2)2();,()2(2222RbababaRbabaab3．算术平均数与几何平均数设,0,0ba则ba,的算术平均数为2ba，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知,0,0yx则(1)如果积xy是定值,p那么当且仅当yx时，yx有最小值是.2p(简记：积定和最小)．(2)如果和yx是定值,p，那么当且仅当yx时，xy有最大值是.42p(简记：和定积最大)．[探究]2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，xxy1在2x时的最小值，利用单调性，易知2x时.25miny[自测·牛刀小试]1．已知,0,0nm且,81mn则nm的最小值为()A．18B．36C．81D．243--------------------------解析：选A因为m0，n0，所以m＋n≥2mn＝281＝18.2．若函数)2(21)(xxxxf在ax处取最小值，则a()A．1＋2B．1＋3C．3D．43．已知,02,0,0,0zyxzyx则2yxz的()A．最小值为8B．最大值为8C．最小值为18D．最大值为184．函数xxy1的值域为____________________．5．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数xxf2)(的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．利用基本不等式证明不等式[例1]已知,0,0ba,1ba求证：.9)11)(11(ba保持例题条件不变，证明：a＋12＋b＋12≤2.———————————————————利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．--------------------------1．已知,0,0,0cba求证：.cbacabbcaabc利用基本不等式求最值[例2](1)(2012·浙江高考)若,0,0yx满足,53xyyx则yx43的最小值是()A.245B.285C．5D．6(2)已知,0,0ba,1222ba则21ba的最大值为________．———————————————————应用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．1．(1)函数)1,0(1aaayx的图象过定点,A若点A在直线)0,(01nmnymx上，求nm11的最小值；(2)若正数ba,满足,3baab求ab的取值范围．--------------------------利用基本不等式解决实际问题[例3]为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用)0(tt万元满足124tkx(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？———————————————————解实际应用题时应注意的问题(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求.有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入)600(612x万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x51万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．--------------------------个技巧——公式的逆用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如abba222逆用就是),0,0(222babaab逆用就是)0,()2(2babaab等，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．个变形——基本不等式的变形(1)).,,(2)2(222”时取“当且仅当baRbaabbaba(2),0,0(1122222babaabbaba).”时取“当且仅当ba个关注——利用基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.创新交汇——基本不等式在其他数学知识中的应用1．考题多以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题．2．解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意基本不等式的使用条件．[典例](2012·湖南高考)已知两条直线myl:1和),0(128:2mmyl1l与函数xy2log的图象从左至右相交于点A、B，2l与函数xy2log的图象从左至右相交于点C、D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为.,ba当m变化时，ab的最小值为()A．162B．82C．348D．344[名师点评]1．本题具有以下创新点(1)本题是对数函数的图象问题，通过分析、转化为基本不等式求最值问题．(2)本题将指数、对数函数的性质与基本不等式相结合，考查了考生分析问题、解决问题的能力．2．解决本题的关键有以下几点--------------------------(1)正确求出A、B、C、D四点的坐标；(2)正确理解ba,的几何意义，并能正确用A、B、C、D的坐标表示；(3)能用拼凑法将)0(128mmm化成利用基本不等式求最值的形式．[变式训练]1．已知,0,0yxybax,,,成等差数列ydcx,,,成等比数列，则cdba2)(的最小值是()A．0B．1C．2D．42．若直线),0,0(02babyax被圆014222yxyx截得的弦长为4，则ba11的最小值为()A.14B.2C.32＋2D.32＋223．若,0,0yx且yxayx恒成立，则a的最小值是________．练习一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·福建高考)下列不等式一定成立的是()A．)0(lg)41lg(2xxxB．),(2sin1sinZkkxxxC．)(212RxxxD.)(1112Rxx2．(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（ba），其全程的平均时速为,v则()A．abvaB．abvC.2bavabD．2bav3．若,0,0ba且,0)ln(ba则ba11的最小值是()A.14B．1C．4D．84．(2013·淮北模拟)函数)1(122xxxy的最小值是()A．23＋2B．23－2C．23D．25．设,0,0ba且不等式011bakba恒成立，则实数k的最小值等于()A．0B．4C．－4D．－2--------------------------6．(2013·温州模拟)已知M是ABC内的一点，且AB·AC＝23，,300BAC若MCAMBC,和MAB的面积分别为,,,21yx则yx41的最小值是()A．20B．18C．16D．19二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费2y与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y和2y分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．8．若,2,0,0baba则下列不等式对一切满足条件的ba,恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①1ab②2ba③222ba④322ba⑤.211ba9．(2013·泰州模拟)已知,822,0,0xyyxyx则yx2的最小值是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知.0,0,0,0dcba求证：.4acadbcbdbcad11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数)(xv的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时))()(xvxxf可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)1．已知,1loglog22ba则ba93的最小值为________．2．设ba,均为正实数，求证：.221122abba源:学,科,网Z,X,X,K]--------------------------3．已知,45x求54124)(xxxf的最大值．4．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1||B1C1|＝),1(xx求公园ABCD所占面积S关于x的函数)(xS的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？[归纳·知识整合]1．合情推理(1)归纳推理：①定