..2013组卷1.在学习因式分解时,我们学习了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式),事实上,除了这两种方法外,还有其它方法可以用来因式分解,比如配方法.例如,如果要因式分解x2+2x﹣3时,显然既无法用提公因式法,也无法用公式法,怎么办呢?这时,我们可以采用下面的办法:x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①=(x+1)2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②=…解决下列问题:(1)填空:在上述材料中,运用了_________的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解,这种方法就是配方法;(2)显然所给材料中因式分解并未结束,请依照材料因式分解x2+2x﹣3;(3)请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5.2.请看下面的问题:把x4+4分解因式分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照苏菲•热门的做法,将下列各式因式分解.(1)x4+4y4;(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab.3.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.解:设x2﹣4x=y原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x2﹣4x+4)2(第四步)回答下列问题:(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________.A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底_________.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________.(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.4.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.5.利用因式分解说明:两个连续偶数的平方差一定是4的倍数...6.已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x﹣2),试求m的值并将多项式因式分解.7.已知多项式(a2+ka+25)﹣b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值并写出因式分解的过程.8.先阅读,后解题:要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:解:2x2+8x+10=2(x2+4x+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)=2(x2+4x+22﹣22+5)=2[(x+2)2+1](将二次多项式配方)=2(x+2)2+2(去掉中括号)因为当x取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么2(x+2)2+2的值一定为正数,所以,原式的值恒大于0,并且,当x=﹣2时,原式有最小值2.请仿照上例,说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什么.9.老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述:甲:这是一个三次三项式;乙:三次项系数为1;丙:这个多项式的各项有公因式;丁:这个多项式分解因式时要用到公式法;若已知这四位同学的描述都正确,请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式.10.在对某二次三项式进行因式分解时,甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2(x﹣1)(x﹣9),而乙同学看错了常数项,而将其分解为2(x﹣2)(x﹣4),请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解.11.观察李强同学把多项式(x2+6x+10)(x2+6x+8)+1分解因式的过程:解:设x2+6x=y,则原式=(y+10)(y+8)+1=y2+18y+81=(y+9)2=(x2+6x+9)2(1)回答问题:这位同学的因式分解是否彻底?若不彻底,请你直接写出因式分解的最后结果:_________.(2)仿照上题解法,分解因式:(x2+4x+1)(x2+4x﹣3)+4.12.(1)写一个多项式,再把它分解因式(要求:多项式含有字母m和n,系数、次数不限,并能先用提取公因式法再用公式法分解).(2)阅读下列分解因式的过程,再回答所提出的问题:1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]①=(1+x)2(1+x)②..=(1+x)3③①上述分解因式的方法是_________,由②到③这一步的根据是_________;②若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2006,结果是_________;③分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).13.阅读下面的材料并完成填空:因为(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,所以,对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解,就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p,即如果有a,b两数满足a﹒b=a+b=p,则有x2+px+q=(x+a)(x+b).如分解因式x2+5x+6.解:因为2×3=6,2+3=5,所以x2+5x+6=(x+2)(x+3).再如分解因式x2﹣5x﹣6.解:因为﹣6×1=﹣6,﹣6+1=﹣5,所以x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1).同学们,阅读完上述文字后,你能完成下面的题目吗?试试看.因式分解:(1)x2+7x+12;(2)x2﹣7x+12;(3)x2+4x﹣12;(4)x2﹣x﹣12.答案1.请看下面的问题:把x4+4分解因式分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+(22)2的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=(x2+2)2﹣4x2=(x2+2)2﹣(2x)2=(x2+2x+2)(x2﹣2x+2)人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法,就把它叫做“热门定理”,请你依照苏菲•热门的做法,将下列各式因式分解.(1)x4+4y4;(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab.考点:因式分解-运用公式法.1082614专题:阅读型.分析:这是要运用添项法因式分解,首先要看明白例题才可以尝试做以下题目.解答:解:(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2,=(x2+2y2)2﹣4x2y2,=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2﹣2xy);(2)x2﹣2ax﹣b2﹣2ab,=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab,=(x﹣a)2﹣(a+b)2,=(x﹣a+a+b)(x﹣a﹣a﹣b),=(x+b)(x﹣2a﹣b).点评:本题考查了添项法因式分解,难度比较大...2.下面是某同学对多项式(x2﹣4x+2)(x2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.解:设x2﹣4x=y原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x2﹣4x+4)2(第四步)回答下列问题:(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C.A、提取公因式B.平方差公式C、两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底不彻底.(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果(x﹣2)4.(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1进行因式分解.考点:提公因式法与公式法的综合运用.1082614专题:阅读型.分析:(1)完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差;(2)x2﹣4x+4还可以分解,所以是不彻底.(3)按照例题的分解方法进行分解即可.解答:解:(1)运用了C,两数和的完全平方公式;(2)x2﹣4x+4还可以分解,分解不彻底;(3)设x2﹣2x=y.(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1,=y(y+2)+1,=y2+2y+1,=(y+1)2,=(x2﹣2x+1)2,=(x﹣1)4.点评:本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力,按照提供的方法和样式解答即可,难度中等.3.找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.考点:因式分解-十字相乘法等.1082614分析:根据十字相乘法的分解方法和特点可知:a是﹣6的两个因数的和,则﹣6可分成3×(﹣2),﹣3×2,6×(﹣1),﹣6×1,共4种,所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况.解答:解:x2+x﹣6=(x+3)(x﹣2);x2﹣x﹣6=(x﹣3)(x+2);x2+5x﹣6=(x+6)(x﹣1);x2﹣5x﹣6=(x﹣6)(x+1)...点评:本题考查十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程,常数﹣6的不同分解是本题的难点.4.利用因式分解说明:两个连续偶数的平方差一定是4的倍数.考点:因式分解的应用.1082614分析:根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2,利用平方差公式进行因式分解,即可证出结论.解答:解:设两个连续偶数为2n,2n+2,则有(2n+2)2﹣(2n)2,=(2n+2+2n)(2n+2﹣2n),=(4n+2)×2,=4(2n+1),因为n为整数,所以4(2n+1)中的2n+1是正奇数,所以4(2n+1)是4的倍数,故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除.点评:本题考查了因式分解的应用,解题的关键是正确设出两个连续正偶数,再用平方差公式对列出的式子进行整理,此题较简单.5.已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为(3x﹣2),试求m的值并将多项式因式分解.考点:因式分解的意义.1082614分析:由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2,所以当x=时多项式的值为0,由此得到关于m的方程,解方程即可求出m的值,再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解,即可求出答案.解答:解:∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2,当x=时多项式的值为0,即3×=0,∴2+m=0,∴m=﹣2;∴3x2+x+m=3x2+x﹣2=(x+1)(3x﹣2);故答案为:m=﹣2,(x+1)(3x﹣2).点评:本题主要考查因式分解的意义,有公因式时,要先考虑提取公因式;注意运用整体代入法求解.6.已知多项式(a2+ka+25)﹣b2,在给定k的值的条件下可以因式分解.请给定一个k值并写出因式分解的过程.考点:因式分解-运用公式法.1082614..专题:开放型.分析:根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可.解答:解:k=±10,假设k=10,则有(a2+10a+25)﹣b2=(a+5)2﹣b2=(a+5+b)(a+5﹣b).点评:此题主要考查了运用公式法分解因式,正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键.7.先阅读,后解题:要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0,我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式,再去考虑,具体过程如下:解:2x2+8x+10=2(x2+4x+5)(提公因式,得到一个二次项系数为1的二次多项式)=2(x2+4x+22﹣22+5)=2[(x+2)2+1](将二次多项式配方)=2(x+2)2+2(去掉中括号)因为当x取任意实数时,代数式2(x+2)2的值一定是非负数,那么2(x+2)2+2的值一定为正数,所以,原式的值恒大于0,并且,当x=﹣2时,原式有最小值2.请仿照上例,说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0,并且说明它的最大值或者最小值是什么.考点:配方法的应用;非负数的性质:偶次方.1082614分析:按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可