吉布斯效应的验证

课程设计说明书设计题目：吉布斯效应的验证系别：年级专业学号：学生姓名：指导教师:教师职称：摘要在信号分析中,复杂周期信号可用一定的数学工具将其展开为一系列的谐波信号,反过来,一系列的谐波信号可合成得到相应的周期信号.用Matlab编程,实现了信号的合成,吉布斯现象的效果相当明显.关键词:信号分析;吉布斯现象;信号合成;信号分解目录第一章MATLAB介绍……………………………………2第二章吉布斯效应……………………………………22.1吉布斯现象的定义………………………………………22.2吉布斯现象产生的原因……………………………………32.3吉布斯效应产生的影响……………………………………3第三章Matlab程序……………………………………5第四章图像及数据分析………………………………74.1吉布斯现象………………………………………………74.2图像及数据分析…………………………………………9心得体会………………………………………………11参考文献………………………………………………12第一章MATLAB介绍MATLAB功能丰富，可扩展性强。MATLAB软件包括基本部分和专业扩展两大部分的功能。基本部分包括：矩阵的运算和各种变换；代数和超越方程的求解；数据处理和傅立叶变换；数值部分等等，可以充分满足大学理工科本科的计算需要。扩展部分称为工具箱。它实际上是用MATLAB的基本语句辩称的各种子程序集，用于解决某一方面的专门问题，或实现某一类的新算法。MATLAB具有以下基本功能（1）数值计算功能；（2）符号计算功能；（3）图形处理及可视化功能；（3）可视化建模及动态仿真功能[6]。第二章吉布斯效应2.1吉布斯现象的定义我们用一个有限长的序列hn去代替dhn，肯定会引起误差，表现在频域就时通常所说的吉布斯（Gibbs）效应。该效应引起通带内和阻带内的波动性，尤其使阻带的衰减小，从而满足不了技术上的要求。这种吉布斯效应是由于将dhn直接截断引起的，因此，也称为截断效应。2.2吉布斯现象产生的原因设计FIR滤波器就是根据要求找到有限个傅氏级数系数，以有限项傅氏级数去近似代替无限项傅氏级数，这样在一些频率不连续点附近会引起较大误差。这种误差效果就是前面说的截断效应。为减少这一效应同样是用窗函数法。因此，从这一角度来说，窗函数法也称为傅氏级数法。显然，选取傅氏级数的项数愈多，引起的误差就愈小，但项数增多，即hn长度增加，也使成本、体积加大，应在满足技术要求的条件下，尽量减少hn的长度。2.3吉布斯效应产生的影响下面求hn的傅立叶变换，也就是找出待求FIR滤波器的频率特性，以便看出加窗处理后究竟对频率响应有何影响。根据复卷积公式，在时域在时域相乘，则在频域是周期性卷积关系，即12jjjdNHeHeRed因而，jHe逼近jdHe的好坏，完全取决于窗函数的频率特性NRsin2sin2NNR下面以图示对上述过程进行说明加窗处理对理想矩形频率响应产生以下几点影响：1）使理想频率特性不连续点处边沿加宽，形成一个过渡带，过渡带宽等于窗的频率响应NR的主瓣宽度4N。（2）带内增加了波动，最大的峰值在2cN处。阻带内产生了余振，最大的负峰在2cN处。通带与阻带中波动的情况与窗函数的幅度谱有关。NR波动愈快（加大时），通带、阻带内波动愈快，NR旁瓣的大小直接影响H波动的大小（3）改变截取长度N，只能改变窗谱的主瓣宽度、的坐标比例以及改变NR的绝对值大小，但是不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。这个比例是由窗函数的形状来决定的。第三章Matlab程序symstx=sin(10*pi*t)/t;figure(1);ezplot(x,[-2,2])title('模拟信号的时域图')gridonholdonX=fourier(x);XX=abs(X);figure(2);XX=simple(XX);%寻找最短形式的符号解ezplot(XX,[-50,50]);%画二维曲线title('信号的频谱图')gridonholdonts=-3;te=3;n=100;t1=linspace(ts,te,n);%线性等分向量x1=sin(10*pi*t1)./t1;figure(3)plot(t1,x1,'r')axis([-4,4,-4,17]);title('模拟信号截断后的时域图')gridonfs=n/(te-ts);X1=abs(fft(x1,1024))/fs;f=(0:length(X1)/2-1)*fs/1024*2*pi;figure(4)plot(f,X1(1:length(X1)/2));ezplot(XX,[0,50]);%画二维曲线holdonplot(f,X1(1:length(X1)/2));title('截断后数字信号的频谱图与截断前模拟信号的频谱图比较')gridon第四章图像及数据分析4.1吉布斯现象4.2图像及数据分析此图为矩形窗宽度为6采样点为100时的图像由图可得峰起值占总跳变的百分比为（3.385-3.142）/3.142=7.73%此图为矩形窗宽度为6采样点为300时的图像由图可得峰起值占总跳变的百分比为（3.403-3.142）/3.142=8.31%此图为矩形窗宽度为18采样点数为300的图像由图可得峰起值占总跳变的百分比为（3.405-3.142）/3.142=8.37%结论：由以上三图可得随着矩形窗的宽度和采样点数的增加，峰起值占总跳变的百分比越来越接近9%，在x轴方向跳变点越来越接近平衡点，吉布斯效应越来越明显。心得体会这次课程设计有了许多的收获。首先，这次设计使自己的课本知识可以应用于实际，使得理论与实际相结合，加深自己对课本理解，同时设计也锻炼了分析理解能力。其次，了解了MATLAB软件操作，达到学以致用。在设计中遇到了一些问题的时候，才发现自己学习的薄弱环节所在。这也是这次设计的收获。吉布斯效应的验证让我又重新温习了课本，对知识有了更深的理解。对MATLAB软件的使用也是一个学习的过程。在这里也要衷心谢谢老师的指导还有一些同学的热心讲解。参考文献