二重积分习题及答案

1求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e2计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy3.计算二重积分,dd)(222yxeyxxIyxD其中:(1)D为圆域(2)D由直线解:(1)利用对称性.yox1DyxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxeyxDyxdd22围成.yxeyxDyxdd122(2)积分域如图:o1yx11D2Dxyxy,xy将D分为,,21DDyxeyxDyxdd22200dd1112xyxx添加辅助线利用对称性,得111xyo4.计算二重积分,dd)sgn()1(2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID在第一象限部分.解:(1)2xy21,DD两部分,则1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx1011:yxD，其中D为圆域把与D分成1D作辅助线xy1o1xy(2)提示:21,DD两部分1DyxyxDdd)(22说明:若不用对称性,需分块积分以去掉绝对值符号.xy作辅助线2D将D分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222)12(325计算1:,)(22yxDdxdyyxD积分区域D关于x、y轴均对称,分析yxyxf),(被积函数关于x,y均是偶函数，利用对称性去掉绝对值符号.解采用直角坐标Ddxdyyx)(【注】在利用对称性计算二重积分时，要同时考虑被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，不能只注意积分区域关于坐标轴的对称性，而忽视了被积函数应具有相应的奇偶性.21010)(4xdyyxdx38.)()(11)()(12banxanbadyyfybndyyfyxdx证明证bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22babynyxndyyf])(11[)(1.)()(111bandyyfybnDxybbaa6写出积分Ddxdyyxf),(的极坐标二次积分形式，其中积分区域,11|),{(2xyxyxD}10x.1yx122yx解在极坐标系下sincosryrx所以圆方程为1r,直线方程为cossin1r,Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1rdrrrfd7计算dxdyyxD)(22，其D为由圆yyx222，yyx422及直线yx30，03xy所围成的平面闭区域.解3261sin4rsin2rdxdyyxD)(2236sin4sin22rdrrd).32(15yyx422yyx22203yx03xy8