常用金属的Drude-参数

張勝雄1、戴朝義21中央研究院原子與分子科學研究所2國立中央大學光電科學研究所E-mail:[e-mail][e-mail]物理專文■631■物理雙月刊(卅卷六期)2008年十二月文/張勝雄、戴朝義奈奈米米電電漿漿子子波波導導元元件件於於積積體體光光學學之之應應用用奈米電漿子波導（Nano-plasmonicwaveguides）能克服光波導的繞射極限，將積體光學帶入奈米尺度的世界；表面電漿極化子（Surfaceplasmonpolariton，SPP）的「場侷限性」以及「偏振性」帶給積體光學新的契機，藉由改變電漿子波導的結構與材料特性，能操控其色散特性（Dispersioncharacteristics），藉以建構各式功能性元件：如低色散奈米波導、超寬頻極化分離器、高色散元件與光限制器等等。將奈米電漿子波導元件應用於積體光路，能建構超大操作頻寬、超小元件面積與超高效率的「電漿子波導回路」。積體光學積體光學的發展始於半導體雷射與玻璃光纖的發明，亦仰賴積體電路的製程技術，使得能循著類似的方法製造積體光路。在過去三十年的研究，被提出的光波導被動元件包括：馬氏干涉儀、多模式干涉儀與環形濾波器等等；主動元件有相位調制器與振幅調制器等等。將各式被動元件與主動元件連結整合可實現寬頻操作的積體光路，其目地在於取代積體電路作為下一世代的資訊處理與存取的平台，然而介電質波導的繞射極限與彎曲損耗抑制光元件微型化的發展。以矽/二氧化矽構成之波導為例[1]：當波導的寬度為0.3μm時，基模的模場直徑（Modalfielddiameter,MFD）在波長λ0=1.55μm時為最小；當波導的彎曲半徑大於7.5μm時[2]，其彎曲損耗才能被忽略。若欲建構環形共振腔則需佔用的最小面積最為176μm2，如此方能降低由彎曲損耗造成的品質因子下降。近年來，基於能隙導光的光子晶體的線缺陷波導與點缺陷共振腔成功地克服了介電質波導的彎曲損耗，使得以光子晶體建構的彎曲波導與微共振腔在小尺寸下仍能保持不錯的工作表現。但是由於光子晶體的能隙決定其操作頻寬，因此大角度的彎曲波導之穿透率頻寬有其物理極限，以磷化銦光子晶體彎曲波導為例，其-1.0dB的穿透率頻寬為136nm[3]，然而此操作頻寬只達到無水光纖可操作頻寬的39%；另外，光子晶體的操作原理是光波在週期性結構內多重反射相互干涉的結果，因此至少需要10個晶格長度以上的週期結構才能有效的表現其功能，故元件最小尺寸亦被侷限於5倍等效波長（Effectivewavelength，λe）。由此可知，如何進一步縮小元件面積與增加其操作頻寬是目前積體光學邁向高密度構裝的重要課題。無水光纖的低損耗操作範圍已涵蓋整個長程光通訊波段（1.3~1.65μm），然而以介電質波導或光子晶體構成的元件，其操作頻寬的極限大約為150nm，最小的元件尺寸大約為5λe。因此若要完全發揮光子的優勢，必須增加元件的操作頻寬至300nm以上；若要實現高密度積體光路之理想，必須縮小元件尺寸至操作波長等級以下。在最近五年來的研究發現表面電漿極化子能突破介電質波導的繞射極限，電漿子波導的最小尺寸可縮小至操作波長的十分之一（~150nm）以下，因此各類型的奈米物理專文■632■物理雙月刊(卅卷六期)2008年十二月電漿子波導元件相繼被提出，以期能作為「電漿子波導回路」之導波元件[4]。本文先簡介金屬於杜德模型（Drudemodel）下的光學性質，並利用勞倫茲-杜德模型（Lorentz-Drudemodel）修正載子因能階躍遷所貢獻之介電常數，最後討論金屬顆粒於量子尺寸下需要的修正效應。接著，利用單一（介電質/金屬）界面的表面電漿極化子的色散關係曲線瞭解表面電漿極化子的特性，並試圖從中找出如何操控表面電漿極化子。再來介紹各類型的奈米電漿子波導元件，分析其於積體光路中的實際應用性，最後評估奈米電漿子波導元件的發展性。金屬的光學性質巨觀上，電磁波與材料作交互作用時，物質對於外加電場產生的淨電荷密度（eρ）、淨電流密度（J）、電極化強度（P）、磁極化強度（M），其與電場磁場之間的關係可由馬克斯威爾方程式來描述：0eBEtDHJtDBρ∂∇×=−∂∂∇×=+∂∇=∇=ii（1）其中E與H是電磁波的電場與磁場，若物質因電極化或磁極化產生感應電場或感應磁場，D與B則是引入的電位移（Electricdisplacement）與磁感應(Magneticinduction)以表示物質內部的總電場與磁場，其定義為：0000rrDEPEB(HM)Hεεεµµµ=+==+=（2）式（2）中，rε與rµ分別為物質相對於真空的介電常數（Dielectricconstant）與磁導率（Permeability），此二者物理量大小可用來描述物質與電磁場的交互作用或物質的光學性質。至於金屬的光學性質可以利用杜德模型來描述：假設金屬導帶的電子為自由電子，可自由的移動，電子與電子之間的作用力被忽略，主要的碰撞作用來自於電子與晶格間的交互作用所產生的震盪。在外加電場的作用下，自由電子會沿著電場作用的反方向運動而形成電流，若每個自由電子的移動速度為v，且電子濃度為Ne，則由電子流動所形成的電流密度為eJN(e)v=−，電子在流動的過程中會與晶體中之原子、雜質或晶格缺陷產生彈性碰撞，假設在單位時間內與原子核碰撞的機率為1/τ，τ為電子的鬆弛時間或碰撞時間。且Fl/vτ=，l為電子的平均自由路徑，Fv為電子的費米速度（Fermivelocity）。外加電場extE給予電子的作用力為exteF(t)eE=−，假設電子的平均自由速度v與質量em，則每一個電子在某一時刻下具有的平均動量為ep(t)mv=，若電子於運動過程中未與原子核碰撞，則電子下一刻的動量為ep(tdt)p(t)F(t)dt+=+，對於運動過程中與原子核發生碰撞的電子，由於電子與原子核彈性碰撞後，電子可被散射至任何方向，使得發生碰撞的電子在碰撞後的平均動量等於零，只剩下外加電場產生的動量變化eF(t)dt，然而發生碰撞的機率為dt/τ，因此在t+dt時刻下電子的平均動量為：eedtdtp(tdt)()[p(t)F(t)dt]()F(t)dtτττ−+=++（3）假設碰撞的時間是無窮短，當dt趨近無窮小時，式（3）可簡化成：1edp(t)p(t)F(t)dtτ=−+（4）式（4）即杜德模型下，自由電子受外加電場的運動方程式。利用電流密度eJN(e)v=−與電子動量ep(t)mv=的關係式，可以將自由電子的運動方程式改寫為：21eexteNedJJEdtmτ+=（5）對於角頻率為ω的電磁波而言，其外加電場隨時間做簡諧振盪，即0extEEexp(it)ω=−，自由電子的運動隨著外加電場振盪形成簡諧振盪之電流密度（Jexp(it)ω∝−），經由解運動方程式（5）可得電流密度與外加電場的關係：物理專文■633■物理雙月刊(卅卷六期)2008年十二月21eeextextNe/mJE()Eiτσωωτ=≡−ururur（6）其中()σω為自由電子因為外加電磁場所形成的導電率，此導電率隨著外加電磁場的頻率有所不同。將電流密度等效成電極化強度，其關係為：dPJdt=urur（7）因為外加電場為簡諧振盪，則式（6）可改寫成：extextEi()J()[E](it)ttσωσωωω∂∂==−∂∂ururur（8）比較式（7）與式（8），可整理出等效電極化強度：21eextexteNei()PEEm(i/)σωωωωτ==−+ururur（9）將1/τ定義為碰撞頻率cω或稱為阻尼常數（Dampingconstant），另外定義自由電子的電漿頻率2peeNe/mω=，利用式（2）可將自由電子或金屬的相對介電常數表示為：21prc()(i)ωεωωωω=−+（10）由式（10）可知，金屬的光學特性可由電漿頻率（Plasmafrequency）與碰撞頻率（Collisionfrequency）決定，因此對於金屬類型的光元件之設計，必須熟知該金屬所對應的電漿頻率與碰撞頻率。表一列出常用的十一種金屬之電漿頻率與碰撞頻率，以供讀者參考[5]。表一：常用金屬之電漿頻率與碰撞頻率。然而杜德模型僅能描述金屬中自由電子之運動行為，當入射電磁波的能量高至能發生載子之能階躍遷，則引入勞倫茲模型描述因能階躍遷所產生的介電常數，此時金屬的介電常數可利用勞倫茲-杜德模型[6-7]來表示：20222111rfbpfKjpbjjj()()()()(i)f()()iεωεωεωεωωωΓωεωωωωΓ==+Ω=−−=−−+∑（11）rε是金屬的介電常數，fε是杜德模型所建立的介電常數，bε是勞倫茲模型所建立的介電常數。0ppfΩω=，K是共振頻率的數目，jω是共振頻率，jf是共振強度，1j/Γ是載子的生命期，0f與0Γ分別是電漿的共振強度與阻尼係數；以Au為例，其共振數目5K=。對於Au而言，當入射電磁波的能量大於2eV時（波長小於620nm），則必須考慮能階躍遷的機制[8]。當金屬顆粒的尺寸小至幾十奈米時，尺寸的大小將改變金屬的光學性質。尺寸大於10nm時，可利用古典的米氏理論（Mietheory）修正其光學特性：當金屬顆粒的尺寸很小時，金屬表面的散射效應被視為能量的損耗，因此可將金屬的碰撞頻率修正為[9]：FAv(R)RΓΓ∞=+（12）Γ∞是塊材的碰撞頻率，R是金屬顆粒的半徑，A是修正係數，Fv是電子的費米速度。以半徑為50nm的Au顆粒為例，Au的電子費米速度為813810.cm/s×，修正係數1A=，則145028210(nm).HzΓ=×比1425510().HzΓ∞=×多出1008.%，此時半徑為50nm的Au顆粒之介電常數的實部與虛部各改變了097.%與985.%−（λ0=1.55μm）。若是金屬顆粒的尺寸更小，在1.4-7nm之範圍，則可利用半量子理論來修正金屬的光學特性[10]。由此可知，金屬奈米顆粒的光學特性隨著其尺寸大小而不同，在研究奈米尺度下的金屬元件時，必須考慮此顆粒尺寸的量子效應。物理專文■634■物理雙月刊(卅卷六期)2008年十二月表面電漿極化子1902年，R.W.Wood於金屬光柵的繞射實驗中觀測到異於光柵繞射理論（Opticalgratingdiffractiontheory）的現象，於實驗中利用白熾燈泡研究金屬光柵的繞射頻譜，當入射光的電場偏振方向與光柵平行，其繞射現象與光柵理論相符，若入射的電場偏振方向與光柵垂直，則發生異常的繞射與穿透現象，R.W.Wood試圖以此偏振方向之電磁場與金屬光柵產生共振來解釋金屬光柵的繞射結果，這是科學家與表面電漿極化子的第一次接觸[11]；在1941，U.Fano於理論計算與分析中提出：當入射光的電場偏振方向垂直於金屬光柵，則入射光在金屬光柵的表面會產生表面波（Superficialwaves），並且表面波以熱的形式消散於光柵的表面，加入此表面波的理論計算能驗證R.W.Wood所觀察的異常折射現象[12]；在1950年代，R.H.Ritchie[13]與R.A.Ferrell[14]等科學家提出表面電漿極化子的理論模型，研究表面電漿極化子的色散關係（Dispersionrelation），建立表面電漿極化子的基礎理論；1968年，A.Otto利用稜鏡耦合的方式激發真空/銀界面的表面電漿極化子，並且量測稜鏡的全反射受挫（Frustratedtotalreflection，FTR）之能量損耗，藉此驗證表面電漿極化子的色散關係，間接驗證表面電漿極化子的存在[15]。表面電漿極化子是電磁波在介電質與金屬界面造成自由電子密度重新分佈與集體共振行為，如圖一所示。圖一：（a）表面電漿極化子於金屬平面的電磁場分佈示意圖。（b）表面電漿極化子於垂直金屬方向的電場振幅分佈示意圖。E與H分別為電場與磁場。電磁波在z方向有波向量k時，電荷分佈的疏密也將沿著z方向傳播形成所謂的表面電漿極化子，圖一(a)是電磁場與金屬表面的自由電子交互作用的示意圖，藉由電磁場的分佈可知表面電漿極化子為p極化的電