高中导数知识点和练习题

导数一、导数的概率设函数)(xfy在0xx处附近有定义，当自变量在0xx处有增量x时，则函数)(xfY相应地有增量)()(00xfxxfy，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/注：1.函数应在点0x的附近有定义，否则导数不存在。2.在定义导数的极限式中，x趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。3.xy是函数)(xfy对自变量x在x范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(xfy上点（)(,00xfx）及点)(,(00xxfxx）的割线斜率。4.导数xxfxxfxfx)()(lim)(0000/是函数)(xfy在点0x的处瞬时变化率，它反映的函数)(xfy在点0x处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率。因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy。5.导数是一个局部概念，它只与函数)(xfy在0x及其附近的函数值有关，与x无关。6.在定义式中，设xxx0，则0xxx，当x趋近于0时，x趋近于0x，因此，导数的定义式可写成00000/)()(lim)()(lim)(0xxxfxfxxfxxfxfxxox。7.若极限xxfxxfx)()(lim000不存在，则称函数)(xfy在点0x处不可导。8.若)(xf在0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线存在，反之不然。若曲线)(xfy在点（)(,00xfx）有切线，函数)(xfy在0x不一定可导，并且，若函数)(xfy在0x不可导，曲线在点（)(,00xfx）也可能有切线。一般地，axbax)(lim0，其中ba,为常数。特别地，aax0lim。如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf＝/y＝xxfxxfxyxx)()(limlim00函数)(xfy在0x处的导数0/xxy就是函数)(xfy在开区间),(ba)),((bax上导数)(/xf在0x处的函数值，即0/xxy＝)(0/xf。所以函数)(xfy在0x处的导数也记作)(0/xf。注：1.如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导。2.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。它们之间的关系是函数)(xfy在点0x处的导数就是导函数)(/xf在点0x的函数值。3.求导函数时，只需将求导数式中的0x换成x就可，即)(/xf＝xxfxxfx)()(lim04.由导数的定义可知，求函数)(xfy的导数的一般方法是：（1）.求函数的改变量)()(xfxxfy。（2）.求平均变化率xxfxxfxy)()(。（3）.取极限，得导数/y＝xyx0lim。二.练习题（一）、选择题1．若函数()yfx在区间(,)ab内可导，且0(,)xab则000()()limhfxhfxhh的值为（）A．'0()fxB．'02()fxC．'02()fxD．02．一个物体的运动方程为21tts其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒3．函数3yxx=+的递增区间是（）A．),0(B．)1,(C．),(D．),1(4．32()32fxaxx,若'(1)4f,则a的值等于（）A．319B．316C．313D．3105．函数)(xfy在一点的导数值为0是函数)(xfy在这点取极值的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件6．函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）A．72B．36C．12D．0（二）、填空题1．若3'0(),()3fxxfx，则0x的值为_________________；2．曲线xxy43在点(1,3)处的切线倾斜角为__________；3．函数sinxyx的导数为_________________；4．曲线xyln在点(,1)Me处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________；5．函数5523xxxy的单调递增区间是___________________________。（三）、解答题1．求垂直于直线2610xy并且与曲线3235yxx相切的直线方程。2．求函数()()()yxaxbxc的导数。3．求函数543()551fxxxx在区间4,1上的最大值与最小值。4．已知函数23bxaxy，当1x时，有极大值3；（1）求,ab的值；（2）求函数y的极小值。（一）、选择题1．函数()323922yxxxx=---有（）A．极大值5，极小值27B．极大值5，极小值11C．极大值5，无极小值D．极小值27，无极大值2．若'0()3fx，则000()(3)limhfxhfxhh（）A．3B．6C．9D．123．曲线3()2fxxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（）A．(1,0)B．(2,8)C．(1,0)和(1,4)D．(2,8)和(1,4)4．()fx与()gx是定义在R上的两个可导函数，若()fx,()gx满足''()()fxgx,则()fx与()gx满足（）A．()fx()gxB．()fx()gx为常数函数C．()fx()0gxD．()fx()gx为常数函数5．函数xxy142单调递增区间是（）A．),0(B．)1,(C．),21(D．),1(6．函数xxyln的最大值为（）A．1eB．eC．2eD．310（二）、填空题1．函数2cosyxx在区间[0,]2上的最大值是。2．函数3()45fxxx的图像在1x处的切线在x轴上的截距为________________。3．函数32xxy的单调增区间为，单调减区间为___________________。4．若32()(0)fxaxbxcxda在R增函数，则,,abc的关系式为是。5．函数322(),fxxaxbxa在1x时有极值10，那么ba,的值分别为________。（三）、解答题1．已知曲线12xy与31xy在0xx处的切线互相垂直，求0x的值。2．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3．已知cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，且在1x处的切线方程是2yx（1）求)(xfy的解析式；（2）求)(xfy的单调递增区间。4．平面向量13(3,1),(,)22ab，若存在不同时为0的实数k和t，使2(3),,xatbykatb且xy，试确定函数()kft的单调区间。（一）、选择题1．若()sincosfxx,则'()f等于（）A．sinB．cosC．sincosD．2sin2．若函数2()fxxbxc的图象的顶点在第四象限，则函数'()fx的图象是（）3．已知函数1)(23xaxxxf在),(上是单调函数,则实数a的取值范围是（）A．),3[]3,(B．]3,3[C．),3()3,(D．)3,3(4．对于R上可导的任意函数()fx，若满足'(1)()0xfx，则必有（）A．(0)(2)2(1)fffB.(0)(2)2(1)fffC.(0)(2)2(1)fffD.(0)(2)2(1)fff5．若曲线4yx的一条切线l与直线480xy垂直，则l的方程为（）A．430xyB．450xyC．430xyD．430xy6．函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个（二）、填空题1．若函数()()2fxxxc=-在2x处有极大值，则常数c的值为_________；2．函数xxysin2的单调增区间为。3．设函数()cos(3)(0)fxx，若()()fxfx为奇函数，则=__________4．设321()252fxxxx，当]2,1[x时，()fxm恒成立，则实数m的取值范围为。5．对正整数n，设曲线)1(xxyn在2x处的切线与y轴交点的纵坐标为na，则数列1nan的前n项和的公式是三、解答题1．求函数3(1cos2)yx的导数。2．求函数243yxx的值域。3．已知函数32()fxxaxbxc在23x与1x时都取得极值(1)求,ab的值与函数()fx的单调区间。(2)若对[1,2]x，不等式2()fxc恒成立，求c的取值范围。4．已知23()logxaxbfxx,(0,)x，是否存在实数ab、,使)(xf同时满足下列两个条件：（1）)(xf在(0,1)上是减函数，在1,上是增函数；（2）)(xf的最小值是1，若存在，求出ab、，若不存在，说明理由.abxy)(xfy?Oabxy)(xfy?O三.导数综合应用1.已知函数dxbacbxaxxf)23()(23的图象如图所示．（I）求dc,的值；（II）若函数)(xf在2x处的切线方程为0113yx，求函数)(xf的解析式；（III）在（II）的条件下，函数)(xfy与mxxfy5)(31的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．2．已知函数)(3ln)(Raaxxaxf．（I）求函数)(xf的单调区间；（II）函数)(xf的图象的在4x处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mxfxxxg在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．3．已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极大值．（I）求实数a的取值范围；（II）若方程9)32()(2axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式；（III）对于（II）中的函数)(xf，对任意R、，求证：81|)sin2()sin2(|ff．4．已知常数0a，e为自然对数的底数，函数xexfx)(，xaxxgln)(2．（I）写出)(xf的单调递增区间，并证明aea；（II）讨论函数)(xgy在区间),1(ae上零点的个数．5．已知函数()ln(1)(1)1fxxkx．（I）当1k时，求函数()fx的最大值；（II）若函数()fx没有零点，求实数k的取值范围；6．已知2x是函数2()(23)xfxxaxae的一个极值点（718.2e）．（I）求实数a的值；（II）求函数()fx在]3,23[x的最大值和最小值．7．已知函数)0,(,ln)2(4)(2aRaxaxxxf（I）当a=18时，求函数)(xf的单调区间；（II）求函数)(xf在区间],