曲线的极坐标方程

1附录1曲线的极坐标方程一.极坐标我们知道，单元实函数()yfx=(x∈()fD)的图形一般是平面上的一条曲线（段）L,而()yfx=(x∈()fD)就是L的方程.由给定曲线建立其方程是平面解析几何的基本任务之一，也是本课程所必须的.但是，在直角坐标系中，对于许多曲线来说，要建立其方程是比较困难的，即使是常用曲线（如等速螺线）也是这样.然而在极坐标系中，有些问题可以迎刃而解.极坐标也是人们确定平面上点的位置的常用方法.例如，炮兵射击时，以大炮为基点，利用目标的方位角及目标到大炮的距离来确定目标的位置的.在航海中也经常使用类似的方法.下面给出利用角和距离建立的坐标系——极坐标系.在平面内取定一点O，称之为极点，引一条射线Ox，称之为极轴.再选定单位长度和角的正向（通常取逆时针方向）（见图F-1）.图F—1对于平面内任意一点M，用ρ表示M到O的距离，即线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度.其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角，当M为极点O时，其极径0ρ=，其极角可取任意值.于是平面上的任意一点就用一对有序实数表示出来了，有序对实数(,)ρθ称为点M的极坐标.反过来，给定一对有序实数,ρθ（假定0ρ≥），以极点为顶点、极轴为始边作大小等于θ的角，在其终边上截取长为ρ的线段OM，则M是平面上极坐标为(,)ρθ的唯一的点.θOxMρ2极坐标为(,)ρθ的点M也可表示为(,)Mρθ.这样建立起来的坐标系称为极坐标系.例1在极坐标系中画出下列各点：.()()()()()π5π4π5π2π1,,(2,0),1.5,,3,,2,,3,.46333ABCDEF−解见图2—12.图F—2注意：()()4π2π3,3,33DF−与是同一点.上例表明，平面上点的极坐标不是唯一的.事实上，一个点的极坐标有无穷多，因为始边为Ox、终边为OM的角有无穷多个.例如，()()()πππ2,,2,2π,2,2π444+−，以及()π2,2π()4kk+∀∈Z等，都是同一点A的极坐标.不仅如此，在某些情况下，允许ρ取负值，是方便的.当0ρ时，点.(,)Mρθ可按下列规则确定：作射线OP，在OP的反向延长线上取一点M，使得OMρ=，则点M就是极坐标为(,)ρθ的点（见图F—3）.例如，上例中的点()π2,4A也可以表示为()π2,(21)π()4Mkk−++∀∈Z.E.O.Ax....BCDF3图F—3如果限定0,02πρθ≥≤（或πθπ−≤），则除极点外，平面上的点与其极坐标就是一一对应的了.二.曲线的极坐标方程在极坐标系中，曲线L可以用含有极坐标ρ和θ这两个变量的方程(,)0Fρθ=来表示.这种方程叫做曲线L的极坐标方程.此时，以这个方程的每一组解为坐标的点都在曲线L上，然而曲线L上每个点的极坐标有无穷多个，故可能不全满足这个方程，但其中至少有一个坐标能满足这个方程.这一点是曲线的极坐标方程与直角坐标方程的不同之处.求曲线的极坐标方程的方法与步骤，同直角坐标方程类似，即视曲线为满足某种条件的点的集合（或动点的轨迹），将已知条件用曲线上点的即坐标ρ和θ的关系式表示出来，就得到曲线的极坐标方程.例2（1）求从极点出发、倾角为π4的射线的极坐标方程；（2）求过极点且倾角为π4的直线的极坐标方程.解（1）设(,)Mρθ为射线上任意一点（图F—4），由条件得π4θ=（0ρ≥）.图F—4这就是所求射线的方程，因为对于任意0ρ≥，坐标为()π,4ρ的点均在此射线上，另一方面，在此射线上的每一点都可用坐标()π,4ρ（0ρ∀≥）来θOxMρPπ4OxMρ4表示，故其至少有一个坐标满足方程π4θ=（0ρ≥）.（2）易知所求直线的极坐标方程为π4θ=（ρ∀∈R）（见图F—4）.图F—5例3求中心在极点、半径为(0)aa的圆的极坐标方程.解设(,)Mρθ为圆上动点，由轨迹条件OMa=，得所求圆的方程为aρ=（θ∀∈R）.如果限制02πθ≤，则此圆上的点的极坐标与方程aρ=（02πθ≤）的解是一一对应的.图F—6OxMπ4ρ()1π1,4M−θOxMρa5例4求圆心在点(,0)(0)aa其中、半径为a的圆的极坐标方程.解由条件知，圆心在极轴上，且圆经过极点O.设圆与极轴的另一交点为A（见图F—7），则2OAa=.设(,)Mρθ是圆上任意一点，则OMMA⊥，于是有cosOMOAθ=.所以此圆的极坐标方程为2cosaρθ=（ππ22θ−≤≤）.图F—6例5阿基米德螺线由极坐标方程aρθ=（0a为常数）确定的曲线，通常称为阿基米德螺线（或等速螺线）.请画出基米德螺线.解在极坐标系中作图的方法和步骤，同直角坐标系中是一样的.给出θ的一系列允许值，通过()ρρθ=算出ρ的对应值（可列成表格），再根据得到的有序数对在极坐标系中描出相应的点，然后依次将这些点连成平滑的曲线，便得到()ρρθ=的图形.对于aρθ=（0a为常数）有：θ0π4π23π4π5π43π27π42πρ0π4aπ2a3π4aπa5π4a3π2a7π4a2πa…θOxAρCM6图F—7如果允许ρ取负值，则当,ρθ是方程aρθ=的解时，,ρθ−−也是aρθ=的解.因为在极坐标系中，点(,)ρθ−−与点(,)ρθ关于过极点且垂直于极轴的直线对称，故aρθ=的图形也关于该直线对称.同济P360(10)图中的实线表示,ρθ取正值时的螺线部分，而虚线表示,ρθ取负值时的螺线部分.阿基米德螺线可以看作按以下条件运动的动点M的轨迹：以点O为端点的射线l，绕点O作等角速度的转动，而l上的点M从O出发沿l作等速直线运动.因此，阿基米德螺线也叫做等速螺线或等进螺线.在机械传动的凸轮装置中，将绕定轴旋转的凸轮的轮廓设计为阿基米德螺线，以使从动杆作等速直线运动.例6心脏线用同样的方法，可画出由极坐标方程(1cos)aρθ=+（0a为常数）确定的曲线（见图F—8），称为心脏线（或心形线），它是外摆线的一种.图F—8更多曲线的极坐标方程请见同济附录IIxOOxaa7三.直角坐标与极坐标的转换关系为了研究的方便，有时需将要曲线在一种坐标系下方程转化为另一种坐标系下的方程.如图F—9所示，把直角坐标系的原点为极点，Ox轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M为平面上任意一点，其直角坐标为(,)xy，极坐标为(,)ρθ.则有“极—直”关系转换式：cossin(0)xyρθρθρ⎧≥⎨⎩==.图F—9由此也有关系转换式：22,tan(0)xyyxxρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩在一般情况下，由tanθ确定θ时，可根据点M所在的象限取最小正角.例7（1）将点M的极坐标()π5,6化为直角坐标；（2）将点P的直角坐标()3,1−−化为极坐标.解（1）π55cos3,62x==π55sin,62y==即点M的直角坐标为()553,22.（2）()22113(1)2,tan,33ρθ−=−+−===−因为点P在第三象限，而20,ρ=故最小正角为7π6θ=.因此，P的极坐标为()7π2,6.例8化圆的直角坐标方程2220(0)xyaya+−=为极坐标方程.yOMxxyρθ8解将cos(0)sinxyρθρρθ=⎧≥⎨=⎩代入原方程，得2222cossin2sin0aρθρθρθ+−=，即2sinaρθ=（0θπ≤≤）.图F—10*例9广义极坐标变换cosnsixaybρθρθ=⎧⎨=⎩将椭圆22221yxab+=变换成极坐标系中的单位圆1(02π)ρθ=≤≤.习题F-11．极坐标方程22cos2(0)aaρθ=的图形称为双纽线.请描绘出双纽线.2．指出下列极坐标方程表示什么曲线，并画图：（1）3ρ=；（2）π()3θρ=−∞+∞；（3）cos2ρθ=；（4）10sinρθ=；（5）10(1cos)ρθ=+.θOxρy2a