河南省平顶山许昌济源2020届高三第一次质量检测数学(理)试题

平顶山许昌济源2020年高三第一次质量检测理科数学试题参考答案一、选择题1．D2．C3．A4．C5．D6．A7．B8．D9．B10．B11．C12．B二、填空题13．414．120°15．32，24xy（★第一空3分，第二空2分）16．3三．解答题：（17）（本小题满分12分）解：（1）由已知可得112()nnnnaaaa，*2,nnN，………2分所以1{}nnaa是以2为公比，以212aa为首项的等比数列．………3分所以，12nnnaa，*nN．………4分∴112211()()()nnnnnaaaaaaaa12222121nnn（2n）．………5分当1n，11a成立，所以，数列{}na的通项公式为21nna，*nN．………6分（2）∵(1)(1)2(1)nnnbnann，∴122232(1)2(231)nnSnn．………7分令122232(1)2nAn，则231222322(1)2nnAnn，………9分相减得，23114(222)(1)22nnnAnn，∴12nAn，………10分而(3)2312nnn．………11分故1(3)22nnnnSn，*nN．………12分（18）（本小题满分12分）绝密★启用前解：（1）设O，O1分别为AC，A1C1的中点，AC1与A1C相交于F．∵ABC－A1B1C1是正三棱柱，∴侧面A1C⊥底面ABC．………1分∵O是正三角形ABC边AC的中点，∴OB⊥AC．∴OB⊥侧面AC1．………2分∵OO1∥BB1，OO1=BB1，E，F是中点，∴EBOF是平行四边形．………4分∴EF∥OB，∴EF⊥侧面AC1．………5分又EF平面AEC1，∴截面AEC1⊥侧面AC1．………6分（2）以O为原点，OB，OC，OO1分别为,,xyz轴，线段OC的长为单位长，建立空间直角坐标系，如图，则(3,0,1)E，(0,1,0)A，1(0,1,2)A，1(0,1,2)C．………7分设1(,,)xyxn为平面AEC1的法向量．∵1(3,1,1)EC，(3,1,1)EA，∴30,30xyzxyz，∴可取1(0,1,1)n．………9分设2(,,)xyxn为平面A1EC1的法向量．∵1(3,1,1)EC，1(3,1,1)EA，∴30,30xyzxyz，∴可取2(1,0,3)n．………10分∵126cos,4nn，注意到二面角A1－EC1－A为锐角，………11分∴二面角A1－EC1－A的余弦值为64．………12分（19）（本小题满分12分）解：（1）记闯关成功为事件A，事件A共分二类，找到4个宝藏并且闯关成功为事件B，找到3个宝藏并且闯关成功为事件C，那么A=B+C．………1分∵42111()2264PB，………2分3444111()2264PCC，………4分∴1()()()32PAPBPC．………5分（2）记一局游戏结束能收益X个Q币，那么X∈｛－1，1，5｝．………6分∵由（1）知1(5)32PX，………8分又34424411119(1)(1)(1)222232PXC．………10分∴X的概率分布为：X－115P1116932132因此，EX=119111151632324．………12分（20）（本小题满分12分）解:（1）A（4，0），设圆心(,)Cxy，线段MN的中点为E，则由圆的性质得：2MNME，2222CACMMEEC，………2分∴222(4)4xyx，即28yx．………4分（2）设11(,)Pxy，11(,)Qxy，由题意可知2118yx，2228yx．………5分（ⅰ）当PQ与x轴不垂直时，120yy，120yy，由x轴平分PBQ，得121211yyxx，∴122212088yyyy，………6分∴1212()(8)0yyyy，∴1280yy．………7分设直线PQ：xmyn，代入C的方程得：2880ymyn．∴880n，即1n。由于，2221211643246PQmyymm，∴212m，因此，直线PQ的方程为2102xy．………10分（ⅱ）当PQ与x轴垂直时，46PQ，可得直线PQ的方程为3x．综上，直线PQ的方程为2102xy或3x．………12分（21）（本小题满分12分）解：（1）函数()fx的定义域为(0,)，11()axfxaxx．………1分（ⅰ）当0a，由()0fx可得()fx是增函数，这时函数()fx没有最大值也没有最小值．………2分（ⅱ）当0a，函数()fx在区间1(0,)a上是增函数，在区间1(,)a上是减函数，所以，1xa时，()fx取得最大值1()ln()faa，且()fx无最小值．………5分（2）由已知可得，1lnexxax对0x时恒成立．………6分令1ln()exxFxx，则222lneln()exxxxxFxxx．………8分令2()elnxGxxx，则21()(+2)e0xGxxxx．所以，()Gx是增函数，因此，方程2eln0xxx有唯一解0(0,1)x．………9分所以，函数()Fx在0xx时取得最小值．由于，000200000000111eln0elnelnxxxxxxxxxxx，所以，00000011lnln()1xxFxxxx．因此，1a．………12分（22）（本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程解：（1）∵2211txt，∴2101xtx，∴1x或1x．………1分∵222222221)1(1)444[(]4txyttt，∴C的直角坐标方程为221(1)4yxx．………4分∵102cos()4，∴2(cossin)10，∴5xy，∴直线l的直角坐标方程为50xy．………5分（2）由（1）可设l的参数方程为25,222xtyt（t为参数），………6分代入C的方程得：234101602tt，其两根1t，2t满足128103tt，12323tt．………8分∴2121212121212()411111||||2ttttttMAMBtttttt．………10分（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲解：（1）当1a时，原不等式可化为2||(4)|2|(1)0xxxx．（*）（ⅰ）当0x时，（*）化为2(2)(1)0xxx，所以，1502x；………2分（ⅱ）当02x时，（*）化为2(2)(31)0xxx，所以，02x；………3分（ⅲ）当2x时，（*）化为2(2)(1)0xxx，所以，无解；………4分综上，a=1时，不等式()0fx的解集为15{|2}2xx．………5分（2）当(2,)x，原不等式()0fx化为||(2)(2)(2)(1)0axxxxx，∴1||(2)xaxx．………7分由于函数11()1(2)(1)1xxxxxx在(2,)x上是减函数，∴3()(2)8x．∴(2,)x，使得不等式()0fx成立，必须使3||8a．因此，3388a．………10分