直线和圆、圆和圆位置关系知识点总结、经典例题解析、近年高考题和答案解析

完美WORD格式专业知识分享直线与圆、圆与圆位置关系【考纲说明】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。【知识梳理】一、直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式24bac0直线l与圆C相交直线l与圆C有两交点0直线l与圆C相切直线l与圆C有一交点0直线l与圆C相离直线l与圆C无交点（2）几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：rd直线l与圆C相交直线l与圆C有两交点rd直线l与圆C相切直线l与圆C有一交点rd直线l与圆C相离直线l与圆C无交点2、圆的切线方程若圆的方程为222xyr，点P00(,)xy在圆上，则过P点且与圆222xyr相切的切线方程为2ooxxyyr.经过圆222()()xaybr上一点P00(,)xy的切线方程为222()()22ooxxyyabr.3、直线与圆相交直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有2224lrd，即222lrd，求弦长或已知弦长求其他量的值时，一般用此公式。二、圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。2、判断圆与圆的位置关系常用方法（1）几何法：设两圆圆心分别为12,OO，半径为1212,()rrrr，则完美WORD格式专业知识分享1212OOrr圆1O与圆2O相离有4条公切线1212OOrr圆1O与圆2O外切有3条公切线121212||rrOOrr圆1O与圆2O相交有2条公切线1212||OOrr圆1O与圆2O内切有1条公切线1212||OOrr圆1O与圆2O内含有0条公切线.（2）代数法：方程组221112222200xyDxEyFxyDxEyF有两组不同的实数解两圆相交；有两组相同的实数解两圆相切；无实数解两圆外离或内含。【经典例题】【例1】（2012广东文）在平面直角坐标系xOy中,直线3450xy与圆224xy相交于,AB两点,则弦AB的长等于（）A．33B．23C．3D．1【答案】B【解析】圆心到直线的距离为225134d,所以弦AB的长等于22223rd.【例2】（2012重庆理）对任意的实数k,直线1ykx与圆222yx的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【答案】C【解析】圆心(0,0)C到直线10kxy的距离为211211drk,且圆心(0,0)C不在该直线上.法二:直线10kxy恒过定点(0,1),而该点在圆C内,且圆心不在该直线上,故选C.【例3】（2012福建）直线320xy与圆224xy相交于,AB两点，则弦AB的长度等于()A．25B．23C．3D．1【答案】B完美WORD格式专业知识分享【解析】求弦长有两种方法，一、代数法：联立方程组402322yxyx，解得A、B两点的坐标为)3,1()0,2(、，所以弦长32)30()12(||22AB；二、几何法：根据直线和圆的方程易知，圆心到直线的距离为1)3(1222，又知圆的半径为2，所以弦长22||22123AB.【例4】（2012安徽）若直线01yx与圆2)(22yax有公共点，则实数a取值范围是()A．[3,1]]B．[1,3]C．[3,1]D．(,3][1,)【答案】C【解析】圆22()2xay的圆心(,0)Ca到直线10xy的距离为d，则12212312adraa≤≤≤≤≤.【例5】（2012山东）圆22(2)4xy与圆22(2)(1)9xy的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】两圆的圆心分别为)0,2(，)1,2(，半径分别为2r，3R两圆的圆心距离为17)10()22(22，则rRrR17，所以两圆相交，选B.【例6】（2012江西）过直线220xy上点P作圆221xy的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．【答案】)2,2(【解析】如图：由题意可知060APB,由切线性质可知030OPB,在直角三角形OBP中，||2||2OPOB．设点(,22)Pxx，则22||(22)2OPxx，即4)22(22xx，整理得02222xx，即0)2(2x,所以2x，即点P的坐标为)2,2(．法二：如图：由题意可知060APB,由切线性质可知030OPB,在直角三角形OBP中，||2||2OPOB，圆心到直线的距离为2222d，所以OP垂直于直线022yx，由完美WORD格式专业知识分享xyyx022，解得22yx，即点P的坐标为)2,2(。【例7】（2009四川）若⊙221:5Oxy与⊙222:()20()OxmymR相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是.【答案】4【解析】由题知12(0,0),(,0)OOm，且535m，又12OAAO，所以有222520(5)(25)255,245mmAB.【例8】（2011福建）已知直线l：,yxmmR.（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：24xy是否相切？说明理由。【答案】22(2)8xy；当m=1时，直线l与抛物线C相切，当m≠1时，直线l与抛物线C不相切.【解析】（I）由题意知P(0,m),∵以点M(2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P,∴PMk=002m=1,解得m=2，∴圆M的半径22(20)(02)r=22，∴所求圆M的方程为22(2)8xy；（II）∵直线l关于x轴对称的直线为l，l：yxm，m∈R，∴l：yxm，代入24xy得2440xxm，=2444m=1616m，当m＜1时，＞0，直线l与抛物线C相交；当m=1时，=0，直线l与抛物线C相切；当m＞1时，＜0，直线l与抛物线C相离.综上所述，当m=1时，直线l与抛物线C相切，当m≠1时，直线l与抛物线C不相切.【例9】已知圆2221:2450Cxymxym，圆2222:2230Cxyxmym，m为何值时，（1）圆1C与圆2C相外切；（2）圆1C与圆2C内含.【答案】52mm当或圆1C与圆2C外切；当21m时，圆1C与圆2C内含.【解析】对于圆1C与圆2C的方程，配方得：221:()(2)9Cxmy；.（1）如果圆1C与圆2C外切，则有22(1)(2)32,mm完美WORD格式专业知识分享22(1)(2)25,mm23100,52mmmm即解得或.（2）如果圆1C与圆2C内含，则有22(1)(2)32,mm222(1)(2)1,320mmmm，解得21m，52mm当或时，圆1C与圆2C外切；当21m时，圆1C与圆2C内含.【例10】（2011广东）设圆C与两圆22(5)4xy，22(5)4xy中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M(355，455)，F(5，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．【答案】2214xy；(655，－255)【解析】（1）两圆的圆心分别为A(－5，0)，B(5，0)，半径为2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4.则C的轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝5，b2＝1∴圆C的圆心轨迹L的方程为2214xy.（2）由（1）知F为双曲线L的一个焦点，如图，连MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．又2235455=255MF（）（）MF的方程为2(5)yx即252yx代入x2－4y2＝4并整理得215325840xx，解得x＝14515或x＝18515＝655，显然x＝655为点P的横坐标，点P的纵坐标为125252555py.即||MP|－|FP||的最大值为2，此时点P的坐标为(655，－255)．完美WORD格式专业知识分享【课堂练习】1、（2012辽宁）将圆222410xyxy平分的直线是（）A．10xyB．30xyC．10xyD．30xy2．（2012重庆）设,AB为直线yx与圆221xy的两个交点，则||AB（）A．1B．2C．3D．23．（2012陕西）已知圆22:40Cxyx，l是过点(3,0)P的直线，则（）A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能4．（2012湖北）过点(1,1)P的直线l，将圆形区域22{(,)|4}xyxy≤分成两部分，使这两部分的面积之差最大，则该直线l的方程为()A．20xyB．10yC．0xyD．340xy5．（2012天津理）设,mnR，若直线02)1()1(ynxm与圆1)1()1(22yx相切，则mn的取值范围是()A．]31,31[B．),31[]31,(C．]222,222[D．),222[]222,(6.（2009辽宁理）已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为()A.22(1)(1)2xyB.22(1)(1)2xyC.22(1)(1)2xyD.22(1)(1)2xy7.（2009重庆理）直线1yx与圆221xy的位置关系为（）A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离8.（2006陕西理）过原点且倾斜角为60的直线被圆2240xyy所截得的弦长为（）A.3B.2C.6D.239．（2011江西）如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（）完美WORD格式专业知识分享10.（2012江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．11．（2012浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：2yxa到直线:lyx的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线:lyx的距离，则实数a______．12．（2012天津文）设,mnR,若直线:10lmxny与x轴相交于点A,与y轴相交于B，且l与圆224xy相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则AOB△面积的最小值为．13.（2010宁夏）过点A(4,1)的圆C与直线10xy相切于点B(2,1)．则圆C的方程为．14.（2010江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知圆422yx上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值