第2章-工业机器人运动学

第2章工业机器人运动学章节题目：第2章工业机器人运动学[教学内容]2-1齐次坐标及对象物的描述2-2齐次变换及运算2-3工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵2-4工业机器人运动学方程[教学安排]第2章安排6学时，其中介绍点的位置描述10分钟，齐次坐标10分钟，坐标轴方向的描述10分钟，动坐标系位姿的描述20分钟，目标物齐次矩阵表示10分钟，平移的齐次变换30分钟，旋转的齐次变换30分钟，平移加旋转的齐次变换15分钟，连杆参数及连杆坐标系的建立20分钟，连杆坐标系之间的变换矩阵15分钟，机器人运动学方程10分钟，正向运动学及实例45分钟，反向运动学及实例30分钟，X=X(Q)形式运动学方程15分钟。通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，介绍齐次坐标的概念及各种对象的齐次坐标方法，进而向学生讲述齐次变换及运算方法，通过上述内容的讲解，进一步让学生掌握连杆参数及其齐次变换矩阵，最终引出工业机器人运动学方程。[知识点及其基本要求]1、点的位置描述（掌握）2、齐次坐标（掌握）3、坐标轴方向的描述（掌握）4、动坐标系的描述（掌握）5、齐次变换（重点掌握）6、连杆参数及其齐次变换矩阵（掌握）7、运动学方程（掌握）[重点和难点]重点：1、对象的齐次坐标表示2、齐次变换3、机器人运动学方程难点：1、连杆参数2、机器人运动学方程[教学法设计]引入新课：机器人实际上可认为是由一系列关节连接起来的连杆所组成。我们把坐标系固连在机器人的每一个连杆关节上，可以用齐次变换来描述这些坐标系之间的相对位置和方向。齐次变换具有较直观的几何意义，而且可描述各连杆之间的关系，所以常用于解决运动学问题。新课讲解：第一次课第2章工业机器人运动学2-1齐次坐标及对象物的描述一、点的位置描述在选定的直角坐标系{A}中，空间任一点P的位置可用3×1的位置矢量Ap表示，其左上标代表选定的参考坐标系：zyxApppp。二、齐次坐标如用四个数组成的（4×1）列阵1zyxpppp表示三维空间直角坐标系{A}中点P，则列阵[pxpypz1]T称为三维空间点P的齐次坐标。必须注意，齐次坐标的表示不是唯一的，将其各元素同乘一非零因子w后，仍然代表同一点P，即wcbappppzyx1。三、坐标轴方向的描述i，j，k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位向量。若用齐次坐标来描述X、Y、Z轴的方向，则TTTZYX010000100001。从上可知，规定：（4×1）列阵[abc0]T中第四个元素为零，且a2+b2+c2=1，则表示某轴（某矢量）的方向；（4×1）列阵[abcw]T中第四个元素不为零，则表示空间某点的位置。四、动坐标系位姿的描述动坐标系位姿的描述就是对动坐标系原点位置的描述以及对动坐标系各坐标轴方向的描述。1、刚体位置和姿态的描述机器人的一个连杆可以看做一个刚体。若给定了刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿态，则这个刚体在空间上是完全确定的。O’为刚体上任一点，O’X’Y’Z’为与刚体固连的一个坐标系，称为动坐标系。刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可用齐次坐标形式的一个（4×1）列阵表示：1000zyxp。刚体的姿态可由动坐标系的坐标轴方向来表示。令n、o、a分别为X’、Y’、Z’坐标轴的单位方向矢量，每个单位方向矢量在固定坐标系上的分量为动坐标系各坐标轴的方向余弦，用齐次坐标形式的（4×1）列阵分别表示为：n=[nxnynz0]T，o=[oxoyoz0]T，a=[axayaz0]T。因此，刚体的位姿可用下面（4×4）矩阵来描述：1000][0zzz0yyy0xxxzaonyaonxaonpaonT。2、手部位置和姿态的表示机器人手部的位置和姿态也可以用固连于手部的坐标系{B}的位姿来表示。坐标系{B}可以这样来确定：取手部的中心点OB；关节周为ZB轴，ZB轴的单位方向矢量a称为接近矢量，指向朝外；二手指的连线为YB轴，YB轴的单位方向矢量o称为姿态矢量，指向可任意选定；XB轴与YB轴及ZB轴垂直，XB轴的单位方向矢量n称为法向矢量，且n=o×a，指向符合右手法则。手部的位置矢量为固定参考系原点指向手部坐标系{B}原点的矢量p，手部的方向矢量为n、o、a。于是手部的位姿可用（4×4）矩阵表示为：1000][zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonpaon。五、目标物齐次矩阵表示2-2齐次变换及运算刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同一矩阵表示转动和平移，有必要引入（4×4）的齐次坐标变换矩阵。一、平移的齐次变换空间某一点A，坐标为（x，y，z），当它平移至A’点后，坐标为（x’，y’，z’），以及zzzyyyxxx，或写成如下形式：110001000100011zyxzyxzyx，也可以简写为a’=Trans(Δx，Δy，Δz)a，其中，Trans(Δx，Δy，Δz)表示齐次坐标变换的平移算子。且1000100010001),,(zyxzyxTrans，其中第四列元素分别表示沿坐标轴X，Y，Z的移动量。若算子左乘，表示坐标变换是相对固定坐标系进行的；假如相对动坐标系进行坐标变换，则算子应该右乘。第二次课二、旋转的齐次变换空间某一点A，坐标为（x，y，z），当它绕Z轴旋转θ角后至A’点，坐标为（x’,y’,z’），A’点和A点的坐标关系为：zzyxyyxxcossinsincos，或用矩阵表示为：zyxzyx1000cossin0sincos。A’点和A点的齐次坐标分别为[x’y’z’1]T和[xyz1]T，因此A点的旋转齐次变换过程为：11000010000cossin00sincos1zyxzyx，也可简写为：a’=Rot(z,θ)a，其中，Rot(z,θ)表示齐次坐标变换时绕Z轴的旋转算子，算子左乘表示相对于固定坐标系进行变换，算子的内容为：1000010000cossin00sincos),(zRot。同理，可写出绕X轴旋转的算子和绕Y轴旋转的算子分别为：10000cossin00sincos00001),(xRot，10000cos0sin00100sin0cos),(yRot。点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角时，kx，ky，kz分别为k矢量在固定参考系坐标轴X、Y、Z上的三个分量，且kx2+ky2+kz2=1。可以证明，绕任意过原点的单位矢量k转θ角的旋转齐次变换公式为：10000cossinsin0sincossin0sinsincos),(verskkkverskkkverskkkverskkverskkkverskkkverskkkverskkverskkkRotzzxzyyzxxyzyyzyxyxzzxyxx式中，versθ=(1-cosθ)。上式称为一般旋转齐次变换通式，它概括了绕X轴、Y轴、Z轴进行旋转齐次变换的各种特殊情况。反之，若给出某个旋转齐次变换矩阵1000000zzzyyyxxxaonaonaonR，则可根据变换通式求出其等效转轴矢量k及等效转角θ：sin2sin2sin21)()()()()()(21sin222222xyzzxyyzxzyxxyzxyzxyzxyzonknakaokaononnaaotgonnaao式中，当θ取0°到180°之间的值时，式中的符号取﹢号；当转角θ很小时，公式很难确定转轴；当θ接近0°或180°时，转轴完全不确定。和平移变换一样，旋转变换算子公式以及一般旋转变换算子公式，不仅仅适用于点的旋转变换，而且也适用于矢量、坐标系、物体等旋转变换计算。若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。三、平移加旋转的齐次变换平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。2-3工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵一、连杆参数及连杆坐标系的建立连杆两端有关节n和n+1。该连杆尺寸可以用两个量来描述：一个是两个关节轴线沿公垂线的距离an称为连杆长度；另一个是垂直于an的平面内两个轴线的夹角αn，称为连杆扭角。这两个参数为连杆的尺寸参数。再考虑连杆n与相邻连杆n-1的关系，若它们通过关节相连，其相对位置可用两个参数dn和θn来确定，其中dn是沿关节n轴线两个公垂线的距离，θn是垂直于关节n轴线的平面内两个公垂线的夹角。这是表达相邻杆件关系的两个参数。这样，每个连杆可以由四个参数所描述：其中两个描述连杆尺寸，另外两个描述连杆与相邻杆件的连接关系。对于旋转关节，θn是关节变量，其它三个参数固定不变；对于移动关节，dn是关节变量，其它三个参数固定不变。连杆坐标系的建立按下面的规则进行：连杆n坐标系（简称n系）的坐标原点设在关节n的轴线和关节n+1的轴线的公垂线与关节n+1的轴线相交之处，n系的Z轴与关节n+1的轴线重合，X轴与上述公垂线重合，且方向从关节n指向关节n+1，Y轴则按右手系确定。二、连杆坐标系之间的变换矩阵建立了各连杆坐标系后，n-1系与n系之间的变换关系可以用坐标系的平移、旋转来实现。从n-1系到n系的变换，可先令n-1系绕Zn-1轴旋转θn角，再沿Zn-1轴平移dn，然后沿Xn轴平移an，最后绕Xn轴旋转αn角，使得n-1系与n系重合。用一个变换矩阵An来综合表示上述四次变换时应注意到坐标系在每次旋转或平移后发生了变动，后一次变换都是相对动系进行的，因此在运算中变换算子应该右乘。于是连杆n的齐次变换矩阵为：1000cossin0sinsincoscoscossincossinsincossincos10000cossin00sincos00001100010000100011000010000cossin00sincos),()0,0,(),0,0(),(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnndaadaxTransaTransdTranszRot④③②①nA2-4工业机器人运动学方程一、机器人运动学方程为机器人的每一个连杆建立一个坐标系，并用齐次变换来描述这些坐标系间的相对关系，也叫相对位姿。通常把描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系间相对关系的齐次变换矩阵叫做A变换矩阵或A矩阵。如果A1矩阵表示第一个连杆坐标系相对于固定坐标系的位姿，A2矩阵表示第二个连杆坐标系相对于第一个连杆坐标系的位姿，那么第二个连杆坐标系在固定坐标系中的位姿可用A1和A2的乘积来表示：T2=A1A2。同理，若A3矩阵表示第三个连杆坐标系相对于第二个连杆坐标系的位姿，则有T3=A1A2A3，如此类推，对于六连杆机器人，有下列T6矩阵：T6=A1A2A3A4A5A6。此式右边表示了从固定参考系到手部坐标系的各连杆坐标系之间的变换矩阵的连乘，左边T6表示这些变换矩阵的乘积，也就是手部坐标系相对于固定参考系的位姿，称上式为机器人运动学方程，计算结果T6是一个如下的（4×4）矩阵：1000zzzzyyyyxxxxpaon