特殊数列求极限

特殊数列求极限邢耀政2020/6/102例6).21(lim222nnnnn求解．是无限多个无穷小之和时,n222221lim)21(limnnnnnnnn2)1(21limnnnn)11(21limnn.21先变形再求极限.2020/6/103例7.求111lim()1223(1)nnn解：注意到,111)1(1nnnn从而)1(1321211nnxn)111()3121()211(nn.111n所以，原式=1lim(1)1.1nn2020/6/1041、夹逼（挤）准则（定理4）准则Ⅰ如果数列nnyx,及nz满足下列条件:,lim,lim)2()3,2,1()1(azaynzxynnnnnnn那末数列nx的极限存在,且axnnlim.2.1.4数列极限的存在准则2020/6/105azynnnnlimlim)2(1.夹逼（挤）准则(准则1)),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N2020/6/106注意:.,).1(的极限是容易求的与并且与键是构造出利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy(2)两者的极限相等.特别,若在夹逼定理中,yn和zn中有一个为常数列,并满足定理条件.定理仍然成立.即若axnzn,lim.nnza且lim.nnxa则这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.2020/6/107例8).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn2020/6/108例9证明证:利用夹逼准则.nn12n1n1n222且22nnnlim2nn11lim1nn12n1n1nlim222n1由nnn2222nnnlimnnnlim22n111limnn2020/6/109例10.求!lim.nnnn解：用夹逼定理求解，记,!nnnnx适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式考虑将xnnnnnx!0nnnnn3211231(,,,1)nnnnn均小于小由于1lim0,nn所以!lim0.nnnn