高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案

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资源描述

2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第1页共6页1.在[]Fx里一定能整除任意多项式的多项式是【B】A.零多项式B.零次多项式C.本原多项式D.不可约多项式2.设()1gxx是6242()44fxxkxkxx的一个因式,则k【C】A.4B.3C.2D.13.A,B是n阶方阵,则下列结论成立的是【C】A.ABOAO且BOB.0AAOC.0ABAO或BOD.1||AIA4.设n阶矩阵A满足220AAI,则下列矩阵哪个不可逆【B】A.2AIB.AIC.AID.A5.设A为3阶方阵,且1)(Ar,则【A】A.0)(*ArB.1)(*ArC.2)(*ArD.3)(*Ar6.设*A为n阶方阵A的伴随矩阵,则AA*=【D】A.2||nAB.||nAC.2||nnAD.21||nnA7.下列对于多项式的结论正确的是【D】A.如果)()(,)()(xfxgxgxf,那么)()(xgxfB.如果多项式在有理数域上可约,则它一定存在有理根C.每一个多项式都有唯一确定的次数D.奇数次实系数多项式必有实根8.方程组为bAX,且rArAr,则和原方程组同解的方程组为【A】A.PbPAX(P为可逆矩阵)B.bQAX(Q为初等矩阵)C.bXATD.原方程组前r个方程组成的方程组1.把5)(4xxf表成1x的多项式是4)1(4)1(4)1(4)1(234xxxx;2.设42()fxxxaxb,2()2gxxx,若((),())()fxgxgx,则a6,b8;2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第2页共6页3.当k=5,l=4时,5阶行列式D的项53431212aaaaalk取“负”号;4.设4122011121113101A,则44342414AAAA-20;5.设n2,naaa,...,,21为互不相等的常数,则线性方程组1......1...1...132211232222111321211nnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax的解是(1,0,…,0);6.01000020...............0001000nn=!)1(1nn.三.计算题(本大题共4个小题,共34分.请写出必要的推演步骤和文字说明).1111111111111111xxDyy.得分评卷人1.(本小题6分)2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第3页共6页:分分分解第一列第二列第三列第四列第二行第一行第四行第三行60140001100001012001111001111:222)1()1()1()1(yxyyxyyxxyyyxxx2.(本小题8分)k为何值时,齐次线性若方程组0300321321321xxxxkxxxxkx有非零解,并求出它的一般解.解:组有非零解01131111kk,得1k--------2分对系数矩阵施行行初变换如下:00021102101113111111--------6分故一般解为323121,21xxxx(3x为自由未知量)---------8分3.(本小题8分)设A=321011330,BAAB2,求B.得分评卷人得分评卷人2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第4页共6页解:易知AIAB1)2(--------2分而212121232121232321121011332)2(11IA--------6分故011321330321011330212121232121232321B--------8分4.(本小题12分)取何值时,线性方程组123123123(1)0(1)3(1)xxxxxxxxx有唯一解?无解?有无穷多解?并在有解时写出解.解:对增广阵施行行初变换如下:)3)(1()3(0030111)1()2(0301110111311111130111111111A---------4分易知1)当0)3(,即30且时,3)()(ArAr,组有唯一解1,2,1321xxx---------8分得分评卷人2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第5页共6页2)当3时,2)()(ArAr未知量个数,组有无穷多解,2,13231xxxx(3x为自由未知量)---------10分3)当0时,2)()(1ArAr,组无解---------12分四.证明题:(本大题共2个小题,共18分.证明须写出必要的推演步骤和文字说明).1.(本小题10分)证明:一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和.证:设A为m×n矩阵且秩A=r,则存在m阶可逆矩阵p及n阶可逆矩阵Q,使AIPAQr000----------2分又rrEEEA2211----------4分rrrBBBQEpQEPQEPA211112211111----------8分由于秩Bk=秩(P-1ErrQ-1)=秩Ekk=1所以A可表成r个秩为1的矩阵之和.----------10分2.(本小题8分)设)(xf是一个整系数多项式,证明:若)0(f与)1(f都是奇数,则)(xf不能有整数根.证明:用反证法假设)(xf有整数根,则)()()(xgxxf,其中)(xg为整系数多项式,--------3分于是)1()1()1(),0()0(gfgf--------5分即)1(|)1(),0(|ff但)0(f与)1(f都是奇数,而1,不同为奇数,因而矛盾.----------7分得分评卷人得分评卷人2009级数学与应用数学专业《高等代数》I(A卷)第6页共6页故)(xf不能有整数根----------8分

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