2-1-1-正弦定理(北师大版)

§1正弦定理与余弦定理1.1正弦定理第二章解三角形1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法.2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题.三角形的边与角之间有什么数量关系呢？我们分别用a,b,c表示的边BC，CA，AB，用A，B，C表示.ABC,,BACCBAACB下面我们先从特殊的三角形开始研究.sin,sin,sin1abABCccABCabc,,sinsinsinabccccABC即sinsinsinabcABC这个优美的关系对等边三角形无疑也成立，对其他的三角形是否成立呢？直角三角形ABC中,C=90º，如图.则有O(A)yxCBC1因为向量与在y轴上的射影均为，BCAC1OC如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C1，1Acos(90)sinOCCAbA1sinsinOCBCBaBsinsinabABsinsinacAC即所以同理，所以sinsinsinabcABC由上面证明过程可以看出，若Ａ为锐角或直角，也可以得到同样的结论.sinsinsinabcABC变式:1;;sinsinsinsinsinsinabbccaABBCCA2sin:sin:sin::ABCabc正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即1.在△ABC中，已知A＝45°，B＝30°，c＝10，求a，b的长．练习：解：∵C＝180°－A－B＝105°，∴sinC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝24(1＋3)．根据正弦定理，得a＝csinAsinC＝10sin45°sin105°＝10(3－1)，b＝csinBsinC＝10sin30°sin105°＝5(6－2)．2.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求三角形中其他的边和角．解：由正弦定理，得sinA＝asinBb＝3sin45°2＝32.∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－(A＋B)＝75°，c＝asinCsinA＝3sin75°sin60°＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，c＝asinCsinA＝3sin15°sin120°＝6－22.3．若B＝60°，b＝43，a＝42，求其它边和角？【解】由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得sinA＝asinBb＝42sin60°43＝22，又a＜b，∴A＝45°，C＝180°－A－B＝75°.∴c＝bsinCsinB＝43sin75°sin60°＝43×2＋6432＝2(2＋6).已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以有两解、一解和无解三种情况，具体步骤是(1)利用正弦定理求出另一边的对角的正弦；(2)利用三角形中“大边对大角”判断解的个数；(3)如果有解，再利用三角形内角和定理求出第三个角；(4)利用正弦定理求出第三边．BCDEA分析：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，已知BC的长及角B与C，可以通过正弦定理求AB，AC的长.例1某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，CE=3.57cm，BD=4.38cm,.为了复原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）.120,45CB解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，BC=2.57cm,B=45°,C=120°,A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°.因为,所以利用计算器算得AC≈7.02(cm),同理：AB≈8.60(cm).sin2.57sin45sinsin15BCBACA答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.sinsinBCACAB例2台风中心位于某市正东方向300km处，正以40km/h的速度向西北方向移动，距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?A北DC2EC1B分析：如图所示，台风沿着BD运动时，由于|AB|=300km250km，所以开始台风影响不了城市A，由点A到台风移动路径BD最小距离|AE|=|AB|·sin45°所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台风的速度计算台风从C1到C2持续的时间.23001501.41211.5(km)250km2解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该市位于点B正西方向300km处的点A.假设经过th，台风中心到达点C，则在△ABC中，AB=300km，AC=250km,BC=40tkm,B=45°.由正弦定理sinsinsinACABBCBCA知sin300sin4532sin0.84852505ABBCAC利用计算器算得角C有两个解12121.95,58.05CC1180()180(45121.95)13.05ABC当1121.95C时所以11sin250sin13.0579.83(km)sinsin45ACABCB1179.832.0(h)4040BCt同理，当258.05C时，2BC344.4(km),2t8.6(h).21tt8.62.06.6(h)答：约2h后将要遭受台风影响，持续约6.6h.问题1由例2我们发现，已知两边和其中一边的对角，解三角形时会出现两解的情况.还会出现其他情况吗？你能从代数或几何角度给出解释吗？bCO如图，在Rt△ABC中，斜边AB是△ABC外接圆的直径（设Ｒt△ABC外接圆的半径为R），因此B`ABCbOABCbOB`2.sinsinsinabcRABCAB这个结论对于任意三角形是否成立？成立问题2在RtABC中，90C,则ABC的面积12Sab.对于任意ABC，已知,ab及C，则ABC的面积1sin2SabC.你能证明这一结论吗？问题3例3在ABC中，(,),(,)ABxyACuv.求证ABC的面积为1||2Sxvyu.证明：1||||sin2SABACA2221||||sin2ABACA2221||||(1cos)2ABACA2221||||(||||cos)2ABACABACA221(||||)()2ABACABAC因为(,),(,)ABxyACuv所以222221()()()2Sxyuvxuyv21()2xvyu1||2xvyu.（2）在中，若，则是()（A）.等腰三角形(B).等腰直角三角形（C）.直角三角形（D).等边三有形（1）在中，一定成立的等式是（）ABCA.asinAbsinB（）　B.acosAbcosB（）　C.asinBbsinA（）　D.acosBbcosA（）　Ccoscoscos222abcABCDABCABC(4)在中，c=4,a=2,C=,则=______ABC45sinA（3）若A,B,C是△ABC的三个内角，则sinA+sinB__________sinC.24通过本节课的学习:1.掌握正弦定理的表示形式及证明正弦定理的向量方法.2.学会运用正弦定理解决两类基本的解三角形问题.（1）已知两角及一边；（2）已知两边和其中一边的对角.1.b=3,1,60,aA,C.ABCcB在中，已知求和2.=2,A30,C45,.ABCABC在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a求的面积作业：只有忠实于事实，才能忠实于真理。——周恩来